Зародилась математика в древнейшие времена. В те доисторические времена человек активно осваивал окружающий мир, накапливал фактический материала и преумножал жизненный опыт. Долгое время счет у древних людей был вещественным, то есть осуществлялся с помощью палочек, камней, пальцев и прочего. Постепенно к первобытному человеку пришло понимание того, что число можно отделить от его конкретного представителя. Древние люди сумели понять, что два яблока и два камня, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека. Так постепенно сформировалось понятие о натуральных числах, а к концу VII V вв. до н. э. и другие основные постулаты математики.
Бурное развитие математической науки обусловлено потребностями хозяйственной жизни человека. Земледелие, ремесло, обмен, торговля, налоги, обеспечение продовольствием, создание армии, измерение площадей земельных владений, объемов сосудов и многое другое заставляло людей заниматься счетом и вычислением. Со временем накопленные знания были приведены в четкую систему, благодаря чему человек смог вычленить особые понятия, методы и способы решения трудных задач, которые впоследствии легли в основу современной математической науки.
Еще в глубокой древности задолго до наступления нашей эры были сформулированы три основных понятия математики: число, величина и геометрическая фигура. В процессе тщательного счета и упорядочивания убитых на охоте зверей, сделанных горшков в мастерской, собранного урожая, возникло понятие натурального числа, как количественного, так и порядкового. В результате сравнения масс и объемов разнообразных сосудов и предметов человек пришел к пониманию понятия величина. В следствие изучения форм изделий и предметов, зданий и земельных участков и т.д. люди сформировали понятие геометрической фигуры, являющейся частью геометрического (буквально означает — измерение земли) пространства, сформированные абстрактные понятия были введены в арифметические действия над натуральными числами. Спустя некоторое время была установлена связь между натуральными числами и величинами, в результате чего появились дробные числа. Они получались в случае, когда результат измерений не выражался натуральным числом. Постепенно путем наблюдений и простейших логических рассуждений, люди пришли к простым, но гениальным по своей сути формулам для вычисления геометрических величин — длин, площадей, объемов. Из этого следует, что в это время арифметика и геометрия считались частями одного целого.
Цифры – условные знаки для обозначения чисел.
Первые цифры появились у египтян и вавилонян. У ряда народов (древние греки, финикияне, евреи, сирийцы) цифрами служили буквы алфавита, аналогичная система применялась и в России до 16 в. В средние века в Европе пользовались системой римских цифр (I, II, III, IV, V, VI и т. д.), основанной на употреблении особых знаков для десятичных разрядов
I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Современные цифры (арабские) перенесены в Европу арабами в 13 в. (по-видимому, из Индии) и получили широкое распространение со 2-й пол. 15 в. В узком смысле слова цифрами называются знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Элементарная математика
С VI- XVIII веках до нашей эры длился полный уникальных открытий период в развитии математической науки. К этому времени математика становится самостоятельной наукой, с целым рядом своеобразных понятий и методов. Теперь начинается систематическое и логически последовательное посторенние основ математической науки.
Наиболее ценный вклад в становление математики внесли ученые Древней Греции. Главным достижением математической мысли того времени является становление и развитие понятия о доказательстве. В данный период развития цивилизации ученые стремились к четкому, последовательному и логическому построению своих мыслей. Древние греки строго выстраивали свои мысли и высказывания, в результате чего переход от одного смыслового звена к следующему не допускал места сомнениям, был неоспорим и заставлял всех принимать его без спора. Такой метод логических рассуждений получил название дедуктивного.
Дошедшие до нас тексты древнегреческого ученого Фалеса из Милета, позволяют считать его первым философом, который использовал в математике дедуктивный метод и доказательства. Именно Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и другие геометрические утверждения.
Метод логического доказательства математических утверждений Фалеса был всесторонне развит и усовершенствован учеными пифагорейцами в конце VI в. — середине V в. до н. э. Ученые пифагорейской школы доказали математическое утверждение, известное нам как теорема Пифагора.
Именно пифагорейцы предприняли первую попытку к сведению геометрии и алгебры к арифметике. По их мнению, «все есть число», при этом под словом «число» ученые пифагорейской школы подразумевали лишь натуральные числа. Эта предположение было опровергнуто самими же пифагорейцами. Новое открытие стало поворотным пунктом в развитии математической науки. Открытие заключалось в том, что пифагорейцы доказали несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Доказательство, основанное на теореме Пифагора, обнаружило несостоятельность и бессмысленность попыток свести геометрию к натуральным числам. Проанализировав доказательство, были сформированы основные положения Теории чисел (четности и нечетности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.)
Следующим этапом развития элементарной математики явилась попытка греческих ученых обосновать математику, оперируя геометрическими понятиями. С этого момента начинается развитие геометрической алгебры. Геометрический подход к алгебре сохранился и по сей день в некоторых терминах, к примеру, квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.Вклад древнегреческих математиков трудно переоценить. Благодаря их трудам математическая наука продвинулась очень далеко. Именно древние греки классифицировали открыли все виды правильных многогранников, вывели основные формулы для определения объемов тел, изучили кривые линии — эллипс, гиперболу, параболу, спирали.
В становлении математики этого периода главную роль сыграла книга Евклида «Начала». Выдающийся труд представлял собой синтез и систематизацию основных достижений математической науки. Книга Евклида на протяжении многих веков служила главным источником знаний, была уникальным образцом строгого, логически стройного изложения математических доказательств. «Начала» подвели промежуточный итог в развитии математических идей.Элементарная математика Древней Греции не знала отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления. Они появятся лишь в III веке нашей эры в трудах александрийского математика Диофанта.Теперь центр математической науки перемещается на Восток, в Индию и арабские страны, а также в Китай.В конце рассматриваемого периода были введены отрицательные числа и ноль, развита тригонометрия, создана новая область математики — алгебра, как буквенное исчисление. Таким образом, период элементарной математики завершается. Теперь направление математических исследований изменяется в сторону математических величин. XVII — XVIII века— третий период развития математической науки. Начало века было ознаменовано выдающимися математическими исследованиями Рене Декарта. В своих трудах Декарт исправляет ошибочные представления античных математиков и вновь возвращает числу алгебраическое понимание взамен геометрического. К тому же Декарт показывает новый способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык. Это осуществлялось с помощью системы координат, которая впоследствии стала носить имя своего создателя. Благодаря декартовой системе координат эффективность математических исследований становится на порядок выше. Таким образом, появилась аналитическая геометрия. Кроме того, именно Рене Декарту принадлежит заслуга введения нового математического понятия переменной величины.
Выдающимся достижением рассматриваемого периода в становлении математической науки явилось введение нового обобщенного понятия функции. Введенное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем, понятие функции воплотило в себе общефилософскую идею о всеобщей взаимосвязи явлений материального мира.
Понятия переменной и функции есть не что иное, как абстракции конкретных переменных величин таких, как координата, скорость, ускорение и тому подобные, и конкретных зависимостей между ними, к примеру, закон свободного падения. Результатом углубленного изучения общих свойств зависимостей между переменными величинами стало создание математического анализа. XVIII век по праву называют веком анализа в математике. Благодаря обмену идеями, происходившему в процессе взаимодействия, была сформирована математическая физика.
В области геометрии и механики конца XVII в. было также сделано немало важных открытий. Выдающийся английский физик и математик Исаак Ньютон создал основу дифференциального и интегрального исчисления. Это открытие Ньютон совершил одновременно с Г.В. Лейбницем. Анализ и механика развивались в тесном взаимодействии, однако впервые эти две области научного знания объединил Эйлер. Теперь механика стала прикладным разделом анализа.
Значительные успехи в этой области были достигнуты в XVIII-XIX столетиях. К этому времени математики научились составлять и решать дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, в которых соединялись многие вопросы математической физики.
На рубеже XVIII — XIXвв в свет выходят многочисленные специализированные математические журналы. Значительно увеличивается количество научно-популярной литературы. В это же время возникает и развивается теория вероятностей.
В современный период развития математической науки, впитавший в себя достижения предыдущих эпох, было сделано много невероятных открытий, опровергнуты ошибочные убеждения, созданы и развиты новые теории.
Одним из самых выдающихся открытий того времени является построение так называемой неевклидовой геометрии. Созданная великим русским математиком Н. И. Лобачевским новая геометрия стала своеобразным символом внутреннего развития математики. Теперь аксиомы рассматривают как гипотезы. К концу XIX века сложился ряд строгих требований к практической работе математиков, который сегодня составляет предмет математической логики.
Не менее важным этапом в развитии математической науки стало углубленное изучение геометрических пространств. Весомый вклад в развитие этой области внес Риман. Интенсивное изучение функциональных пространство позволило создать новый раздел математики — функциональный анализ, в котором геометрические понятия и идеи используются для решения сложных задач математического анализа.
В области механики и математической физики разработана теория обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частичными производными и пр.
Направление алгебраических исследований изменяется в сторону общих алгебраических систем, теории групп, полей, колец. На стыке алгебры и геометрии возникает новая теория непрерывных групп.
Новые методы анализа и алгебры, созданные в начале ХХ века, были использованы при создании и дальнейшем использовании ЭВМ. Таким образом, было найдено практическое применение результатов теоретико-математических исследований, а методы анализа и алгебры легли в основу нового раздела науки — вычислительную математику.
Слово «математика» произошло от др.-греч. mбthзma, что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. mathзmatikуs, первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, математике. В частности, ars mathematica, означает искусство математики.
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов.
«Математика – царица наук» – говорили древние и, во многом, были правы. Математика – одна из древнейших наук, возникшая раньше письменности и многого другого. Ещё люди каменного века занимались простейшим счётом, делая зазубрины на кости и дереве пометки на различных предметах. Учёными найден наскальный рисунок, датированный ещё эпохой палеолита, изображающий число 35 в виде выстроенных в ряд 35 палочек пальцев. Первые достижения геометрии связанны с такими простыми понятиями как прямая и окружность.
Своё дальнейшее развитие царица наук получила с помощью вавилонян и египтян. Представители этих двух цивилизаций, в отличии от праздных греков, использовали науку в основном для хозяйственных нужд. Клинописные глиняные таблички вавилонян, датированные промежутком времени с 2000 тыс. лет до н. э. до 200 тыс. лет до н. э., способны много сказать нам об уровне хозяйственной жизни древней цивилизации. Алгебры вавилоняне использовали для торговли, подсчёта налогов, строительства зернохранилищ. Важнейшей задачей для тогдашних учёных был расчёт календаря, так как по нему велись все сельскохозяйственные работы. Деление окружности на 360 градусов, а минуты на 60 секунд, ввели в обиход именно вавилоняне. Система записи чисел тогда была достаточно сложной: например одни и те же символы могли обозначать как число 21, так и дробь 21/60, и даже (20/60 + 1/60*60). Неоднозначность записи разрешалась в зависимости от контекста. Во многих областях алгебры вавилоняне достигли впечатляющих успехов: им было известно примерное значение корня из двух, способ решения квадратных уравнений и уравнений с десятью неизвестными. Уравнения кубов и четвёртой степени так же не являлись неразрешимой задачкой для наших предков.
Не меньших, по тем временам, успехов достигли в алгебре и геометрии египтяне. Жители долины Нила, подобно народу Месопотамии, использовали математику как практическое орудие. Египтяне вычисляли вес тел, площади посевов, размеры налогов, и объёмы зернохранилищ. Нередкой была задачка, сколько пшеницы потребуется для варки определённого количества кружек пива. Попадались и более сложные задачки, например, с условием, что для варки используются разные сорта зерновых. В таких случаях использовались переводные коэффициенты. Однако главной областью приложения математических знаний была астрономия. Наблюдая за движениями небесных тел, составлялись карты и календари, вычислялись орбиты и прочие параметры, заметные древних астрономам. Математика, используемая при сооружении пирамид, надо сказать, была достаточно примитивной. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида.
В целом, сложно назвать древнею математику прогрессивной и развитой. Она сыграла огромную роль в становлении эти двух цивилизаций, ведь не имея таких знаний, нашим предкам не удалось бы создать действенные оросительные системы, вести упорядоченный сбор налогов, успешно заниматься земледелием. Однако, ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.
С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки. Им мы обязаны большей частью современных гипотез и основополагающих теорем, они первыми пришли к дедуктивному методу исследования математики. И тому есть простейшее объяснение – рабство. Общество, целиком и полностью основанное на невольничьем труде, могло позволить себе заниматься математикой, естествознанием или философией. Как мы уже обговорили, математика до греков представляла собой собрание эмпирических знаний, ничем не систематизированных. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия. Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в, уже обговоренном, устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.
Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому, который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Ещё один великий грек, чьё имя мы ассоциируем с математическими науками, был Пифагор. Пифагор и его последователи, пифагорейцы, создали чистую математику в форме чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, и даже слово “калькуляция” (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего “камешек”. Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д. Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. При этом полное неприятие и даже смятение вызывали у греков иррациональные числа. Впервые столкнувшись в геометрии с числом корень из двух, пифагорейцы растерялись и даже решили держать открытие в тайне. Число, которое невозможно представить в виде двух целых чисел категорически не согласовывалось с мировоззрением греков. Это пример тесного переплетений тогдашних наук. Мы так же можем увидеть его и в неспособности пифагорейцев представить число без наделения его каким-либо качеством. Так, двойка у эллинов отождествлялась с мнением, четвёрка со справедливостью, так как являлась суммой перемноженных двоек.
В целом, даже не имея жизни в практических, прикладных науках, и распространяясь исключительно в высших кругах, математика играла важную роль в жизни Эллады. Платон, и вовсе, считал алгебры и геометрию, не просто посредниками между идеями и данными чувственного опыта – математический порядок мужчина воспринимал точным отражением самой сути реальности. математика геометрия пифагор дедуктивный
Однако греческий период подошёл к концу и около 300 лет до н. э. начался новый виток развития математики – Александрийский. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей – продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач. Эратосфен нашел простой метод точного вычисления длины окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Величайшим математиком древности был Архимед. Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа p находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед был величайшим математическим физиком древности. Его сочинение о плавающих телах заложило основы гидростатики.
К сожалению, период Александрии был недолог. После падения её в 33. Году от мечей римской империи, математика на некоторое время застыла в своём развитии. Римляне не внесли каких-либо серьёзных новшеств, используя достижения предыдущих эпох и вообще уделяя больше времени практическим проблемам. Не менее «застойными» были и средние века. Сказывалось не только отсутствие образованны людей – в средние века в Европе исследование природы любыми способами, включая математические, считалось предосудительным занятием, т.к. главной стала теологическая ветвь науки. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками. Центр научной мысли теперь переместился в Индию, а потом в арабские страны. В Индии зарождается алгебра, вводятся десятичная система счисления и нуль для обозначения отсутствия единиц данного разряда.
Новым подъёмом математики можно считать эпоху Возрождения, но лишь в некоторой мере. Началом же современной математики считают 16 век. Именно это время ознаменовалось важнейшими достижениями в алгебре и геометрии. Были введены десятичные дроби и, естественно, правила обращения с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1617 году логарифмов. Сформировавшаяся к тому времени сеть учебных заведений по всей Европе уже могла взрастить образованных эрудированных людей, которые, с помощью всё расширяющегося набора средств, продвигали вперёд алгебры и геометрию. Однако многое тогдашние вычисления и размышления современным математикам всё ещё могли бы показаться странными и глупыми. В частности, всё ещё не была решена судьба иррациональных чисел. В то время как Декарт и ряд других математиков свободно использовали их в алгебраических управлениях и вычислениях, знаменитый учёный Паскаль искренне верил, что всевозможные корни не имеют права на жизнь за пределами геометрических уравнений. Не утихали споры касательно правомерности использования отрицательных чисел. Если некоторые математики свободно с ними работали, другие наотрез отказывались подобные величины рассматривать. Недопустимыми большая часть мирового сообщества считала и уравнения с комплексными числами, как, например, 5 + корень из пяти. Уже упомянутый выше Декарт упорно именовал такие уравнения «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.
Подлинным переворотом, истинно поднявшим уровень математической науки, стало изобретение аналитической или координатной геометрии. Учёным, внедрившим её в научное сообщество, считается Декарт. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение – отрезок, имевший соответствующую длину. Аналитическая геометрия стала одним из важнейших открытий, так как полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, “пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству”.
Время с начала 16 века считается началом современной математики, так как именно тогда с помощью этой науки стали подходить ко всем вопросам естествознания. Физика, химия, инженерия, астрономия и многие другие науки начали активно использовать математические методы для своего развития. В наше время уже не одно утверждение, теория или гипотеза не могут считаться истинными, если не доказаны математически. Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало “высшей математики”. Практически любое физическое явление можно просто и понятно расписать математическими средствами, математическим анализом.
Когда-то И.Кант сказал: «Математика – наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах”. Математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Ему разрешены построения, противоречивые физически, главное, чтобы они не были противоречивы логически. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, «математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку». Раскованность и рискованность – преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, поскольку он мыслит математически, то есть, по выражению Г. Вейля, пытаясь дать “теоретическое изображение бытия на фоне возможного”. Но у учёного нет возможности для бескрайнего фантазирования. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это может знать только математика, которая владеет расчётами на основе количественного описания явлений. Другие науки не могут устанавливать пределы возможного – той количественной меры, которая определяет вариантность изменений. Например, биолог не знает пределы возможного для жизни и познаёт её в диапазоне наблюдаемого.
Т. к. абстракции математики отдалены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением “наводить мосты над пропастью”. Там, где конкретная наука останавливается, математика может переносить свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы.
Однако, как кажется мне, математическая наука абсолютно лишает мир многообразия. Как выразился русский математик И.Шафаревич она «убивает индивидуальность». Он пишет: «Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: “7 предметов”. Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков “предметы”». То есть счёт делает предметы равными.
Невозможно, конечно, отрицать, что современный мир нельзя представить без математики и её достижений, но лично я предпочитаю углубляться в другие школьные предметы.
Размещено на Allbest.ru
Введение
Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам. 1. ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА
Классическая Греция. С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки классического периода (6-4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия.
Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.
Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6-3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч.
Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640-546 до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии, хотя это сомнительно.
Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок. 585-500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550-300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д.
Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. Например, пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (в современных обозначениях) n2 – квадратное число, то n2 + 2n +1 = (n + 1)2. Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным. Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496. Два числа пифагорейцы называли дружественными, если каждое из чисел равно сумме делителей другого; например, 220 и 284 – дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей).
Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.
Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Они имеют геометрическую интерпретацию, если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузы. Такая интерпретация, по-видимому, привела пифагорейцев к осознанию более общего факта, известного ныне под названием теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Рассматривая прямоугольный треугольник с единичными катетами, пифагорейцы обнаружили, что длина его гипотенузы равна , и это повергло их в смятение, ибо они тщетно пытались представить число в виде отношения двух целых чисел, что было крайне важно для их философии. Величины, непредставимые в виде отношения целых чисел, пифагорейцы назвали несоизмеримыми; современный термин – «иррациональные числа». Около 300 до н.э. Евклид доказал, что число несоизмеримо. Пифагорейцы имели дело с иррациональными числами, представляя все величины геометрическими образами. Если 1 и считать длинами некоторых отрезков, то различие между рациональными и иррациональными числами сглаживается. Произведение чисел и есть площадь прямоугольника со сторонами длиной и .Мы и сегодня иногда говорим о числе 25 как о квадрате 5, а о числе 27 – как о кубе 3.
Древние греки решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков; ныне этот метод называется геометрической алгеброй.
Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до1600. И даже в 18 в., когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно слову «математик».
Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем была систематизированно изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках.
Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427-347 до н.э.). Платон был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. (Аналитический метод начинается с утверждения, которое требуется доказать, и затем из него последовательно выводятся следствия до тех пор, пока не будет достигнут какой-нибудь известный факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений.
Величайшим из греческих математиков классического периода, уступавшим по значимости полученных результатов только Архимеду, был Евдокс (ок. 408-355 до н.э.). Именно он ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы. Располагая понятием величины, Евдокс логически строго обосновал пифагорейский метод обращения с иррациональными числами.
Работы Евдокса позволили установить дедуктивную структуру математики на основе явно формулируемых аксиом. Ему же принадлежит и первый шаг в создании математического анализа, поскольку именно он изобрел метод вычисления площадей и объемов, получивший название «метода исчерпывания». Этот метод состоит в построении вписанных и описанных плоских фигур или пространственных тел, которые заполняют («исчерпывают») площадь или объем той фигуры или того тела, которое является предметом исследования. Евдоксу же принадлежит и первая астрономическая теория, объясняющая наблюдаемое движение планет. Предложенная Евдоксом теория была чисто математической; она показывала, каким образом комбинации вращающихся сфер с различными радиусами и осями вращения могут объяснить кажущиеся нерегулярными движения Солнца, Луны и планет.
Около 300 до н.э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом, написавшим математический шедевр Начала. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст Начал Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в 19 в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, такие как неосознанное использование несформулированных в явном виде допущений.
Аполлоний (ок. 262-200 до н.э.) жил в александрийский период, но его основной труд выдержан в духе классических традиций. Предложенный им анализ конических сечений – окружности, эллипса, параболы и гиперболы – явился кульминацией развития греческой геометрии. Аполлоний также стал основателем количественной математической астрономии.
Александрийский период. В этот период, который начался около 300 до н.э., характер греческой математики изменился. Александрийская математика возникла в результате слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и Египта. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп – продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач.
Эратосфен (ок. 275-194 до н.э.) нашел простой метод точного вычисления длины окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Астроном Аристарх (ок. 310-230 до н.э.) написал сочинение О размерах и расстояниях Солнца и Луны, содержавшее одну из первых попыток определения этих размеров и расстояний; по своему характеру работа Аристарха была геометрической.
Величайшим математиком древности был Архимед (ок. 287-212 до н.э.). Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа ? находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед решил эту задачу, отыскав пересечение параболы и равнобочной гиперболы.
Архимед был величайшим математическим физиком древности. Для доказательства теорем механики он использовал геометрические соображения. Его сочинение О плавающих телах заложило основы гидростатики. Согласно легенде, Архимед открыл носящий его имя закон, согласно которому на тело, погруженное в воду, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости, во время купания, находясь в ванной, и не в силах совладать с охватившей его радостью открытия, выбежал обнаженный на улицу с криком: «Эврика!» («Открыл!»)
Во времена Архимеда уже не ограничивались геометрическими построениями, осуществимыми только с помощью циркуля и линейки. Архимед использовал в своих построениях спираль, а Диоклес (конец 2 в. до н.э.) решил проблему удвоения куба с помощью введенной им кривой, получившей название циссоиды.
В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо от геометрии. Греки классического периода имели логически обоснованную теорию целых чисел, однако александрийские греки, восприняв вавилонскую и египетскую арифметику и алгебру, во многом утратили уже наработанные представления о математической строгости. Живший между 100 до н.э. и 100 н.э. Герон Александрийский трансформировал значительную часть геометрической алгебры греков в откровенно нестрогие вычислительные процедуры. Однако, доказывая новые теоремы евклидовой геометрии, он по-прежнему руководствовался стандартами логической строгости классического периода.
Первой достаточно объемистой книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок. 100 н.э.). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью Начал Евклида в истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых, а также о пропорциях). Повторяя многие пифагорейские утверждения, Введение Никомаха вместе с тем шло дальше, так как Никомах видел и более общие отношения, хотя и приводил их без доказательства.
Знаменательной вехой в алгебре александрийских греков стали работы Диофанта (ок. 250). Одно из главных его достижений связано с введением в алгебру начал символики. В своих работах Диофант не предлагал общих методов, он имел дело с конкретными положительными рациональными числами, а не с их буквенными обозначениями. Он заложил основы т.н. диофантова анализа – исследования неопределенных уравнений.
Высшим достижением александрийских математиков стало создание количественной астрономии. Гиппарху (ок. 161-126 до н.э.) мы обязаны изобретением тригонометрии. Его метод был основан на теореме, утверждающей, что в подобных треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них равно отношению длин двух соответственных сторон другого. В частности, отношение длины катета, лежащего против острого угла А в прямоугольном треугольнике, к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех прямоугольных треугольников, имеющих один и тот же острый угол А. Это отношение известно как синус угла А. Отношения длин других сторон прямоугольного треугольника получили название косинуса и тангенса угла А. Гиппарх изобрел метод вычисления таких отношений и составил их таблицы. Располагая этими таблицами и легко измеримыми расстояниями на поверхности Земли, он смог вычислить длину ее большой окружности и расстояние до Луны. По его расчетам, радиус Луны составил одну треть земного радиуса; по современным данным отношение радиусов Луны и Земли составляет 27/1000. Гиппарх определил продолжительность солнечного года с ошибкой всего лишь в 61/2 минуты; считается, что именно он ввел широты и долготы.
Греческая тригонометрия и ее приложения в астрономии достигли пика своего развития в Альмагесте египтянина Клавдия Птолемея (умер в 168 н.э.). В Альмагесте была представлена теория движения небесных тел, господствовавшая вплоть до 16 в., когда ее сменила теория Коперника. Птолемей стремился построить самую простую математическую модель, сознавая, что его теория – всего лишь удобное математическое описание астрономических явлений, согласованное с наблюдениями. Теория Коперника одержала верх именно потому, что как модель она оказалась проще.
Упадок Греции. После завоевания Египта римлянами в 31 до н.э. великая греческая александрийская цивилизация пришла в упадок. Цицерон с гордостью утверждал, что в отличие от греков римляне не мечтатели, а потому применяют свои математические знания на практике, извлекая из них реальную пользу. Однако в развитие самой математики вклад римлян был незначителен. Римская система счисления основывалась на громоздких обозначениях чисел. Главной ее особенностью был аддитивный принцип. Даже вычитательный принцип, например, запись числа 9 в виде IX, вошел в широкое употребление только после изобретения наборных литер в 15 в. Римские обозначения чисел применялись в некоторых европейских школах примерно до 1600, а в бухгалтерии и столетием позже. 2. СРЕДНИЕ ВЕКА И ВОЗРОЖДЕНИЕ
Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставила заметного следа в математике, поскольку была слишком озабочена решением практических проблем. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400-1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками.
Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков.
Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.
Возрождение. Среди лучших геометров эпохи Возрождения были художники, развившие идею перспективы, которая требовала геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404-1472) ввел понятия проекции и сечения. Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателя к различным точкам изображаемой сцены образуют проекцию; сечение получается при прохождении плоскости через проекцию. Чтобы нарисованная картина выглядела реалистической, она должна была быть таким сечением. Понятия проекции и сечения порождали чисто математические вопросы. Например, какими общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы свойства двух различных сечений одной и той же проекции, образованных двумя различными плоскостями, пересекающими проекцию под различными углами? Из таких вопросов и возникла проективная геометрия. Ее основатель – Ж.Дезарг (1593-1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно. 3. НАЧАЛО СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж.Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось понимание логарифмов как показателей степени с любым положительным числом, отличным от единицы, в качестве основания. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б.Паскаль (1623-1662) и И.Барроу (1630-1677), учитель И.Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как , можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р.Декарт (1596-1650) и Дж.Валлис (1616-1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707-1783) с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.
Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские математики Н.Тарталья (1499-1577), С.Даль Ферро (1465-1526), Л.Феррари (1522-1565) и Д.Кардано (1501-1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, -, ?, , =, > и < . Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф.Виетом (1540-1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Кардано, Декарт и И.Ньютон (1643-1727) опубликовали (без доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 - 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 - 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 К.Фридрих Гаусс (1777-1855) доказал т.н. основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней.
Основная задача алгебры - поиск общего решения алгебраических уравнений - продолжала занимать математиков и в начале 19 в. Когда говорят об общем решении уравнения второй степени ax2 + bx + c = 0, имеют в виду, что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней, производимых над коэффициентами a, b и с. Молодой норвежский математик Н.Абель (1802-1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций. Однако существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение. Накануне своей гибели на дуэли юный французский математик Э.Галуа (1811-1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах, т.е. корни каких уравнений можно выразить через их коэффициенты в помощью конечного числа алгебраических операций. В теории Галуа использовались подстановки или перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики.
Развитие теории групп служит хорошим примером преемственности творческой работы в математике. Галуа построил свою теорию, опираясь на работу Абеля, Абель опирался на работу Ж.Лагранжа (1736-1813). В свою очередь многие выдающиеся математики, в том числе Гаусс и А.Лежандр (1752-1833) в своих работах неявно использовали понятие группы. Ньютон не был чрезмерно скромен, когда заявил: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов».
Аналитическая геометрия. Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо П.Ферма (1601-1665) и Р.Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие - осознание всей мощи алгебраических методов - принадлежит Декарту. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение - отрезок, имевший соответствующую длину.
Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин.
Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного алгебраического уравнения относительно х и у. Такой подход был важным шагом вперед, ибо он не только включил в число допустимых такие кривые, как конхоида и циссоида, но также существенно расширил область кривых. В результате в 17-18 вв. множество новых важных кривых, таких как циклоида и цепная линия, вошли в научный обиход.
По-видимому, первым математиком, который воспользовался уравнениями для доказательства свойств конических сечений, был Дж.Валлис. К 1865 он алгебраическим путем получил все результаты, представленные в V книге Начал Евклида.
Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, «пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству».
Математический анализ. Основатели современной науки - Коперник, Кеплер, Галилей и Ньютон - подходили к исследованию природы как математики. Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как функция, или отношение между переменными, например d = kt2, где d - расстояние, пройденное свободно падающим телом, а t - число секунд, которое тело находится в свободном падении. Понятие функции сразу же стало центральным в определении скорости в данный момент времени и ускорения движущегося тела. Математическая трудность этой проблемы заключалась в том, что в любой момент тело проходит нулевое расстояние за нулевой промежуток времени. Поэтому определяя значение скорости в момент времени делением пути на время, мы придем к математически бессмысленному выражению 0/0.
Задача определения и вычисления мгновенных скоростей изменения различных величин привлекала внимание почти всех математиков 17 в., включая Барроу, Ферма, Декарта и Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были объединены в систематический, универсально применимый формальный метод Ньютоном и Г.Лейбницем (1646-1716), создателями дифференциального исчисления. По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между ними велись горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате. Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал математический анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен идеями между математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы оказался прерванным с ущербом для английской стороны. Английские математики продолжали развивать идеи анализа в геометрическом направлении, в то время как математики континентальной Европы, в том числе И.Бернулли (1667-1748), Эйлер и Лагранж достигли несравненно бльших успехов, следуя алгебраическому, или аналитическому, подходу.
Основой всего математического анализа является понятие предела. Скорость в момент времени определяется как предел, к которому стремится средняя скорость d/t, когда значение t все ближе подходит к нулю. Дифференциальное исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения скорости изменения функции f (x) при любом значении х. Эта скорость получила название производной. Из общности записи f (x) видно, что понятие производной применимо не только в задачах, связанных с необходимостью найти скорость или ускорение, но и по отношению к любой функциональной зависимости, например, к какому-нибудь соотношению из экономической теории. Одним из основных приложений дифференциального исчисления являются т.н. задачи на максимум и минимум; другой важный круг задач - нахождение касательной к данной кривой.
Оказалось, что с помощью производной, специально изобретенной для работ с задачами движения, можно также находить площади и объемы, ограниченные соответственно кривыми и поверхностями. Методы евклидовой геометрии не обладали должной общностью и не позволяли получать требуемые количественные результаты. Усилиями математиков 17 в. были созданы многочисленные частные методы, позволявшие находить площади фигур, ограниченных кривыми того или иного вида, и в некоторых случаях была отмечена связь этих задач с задачами на нахождение скорости изменения функций. Но, как и в случае дифференциального исчисления, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления.
Метод Ньютона - Лейбница начинается с замены кривой, ограничивающей площадь, которую требуется определить, приближающейся к ней последовательностью ломаных, аналогично тому, как это делалось в изобретенном греками методе исчерпывания. Точная площадь равна пределу суммы площадей n прямоугольников, когда n обращается в бесконечность. Ньютон показал, что этот предел можно найти, обращая процесс нахождения скорости изменения функции. Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. Утверждение о том, что суммирование можно осуществить, обращая дифференцирование, называется основной теоремой математического анализа. Подобно тому, как дифференцирование применимо к гораздо более широкому классу задач, чем поиск скоростей и ускорений, интегрирование применимо к любой задаче, связанной с суммированием, например, к физическим задачам на сложение сил.
4. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало «высшей математики». Методы математического анализа, в отличие от понятия предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными. Многие годы математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное определение понятию предела. И все же, несмотря на многочисленные сомнения в обоснованности математического анализа, он находил все более широкое применение. Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа, который со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в.
Неевклидова геометрия. К 1800 математика покоилась на двух «китах» – на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И.Лобачевскому (1792-1856) и Я.Бойяи (1802-1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б.Римана (1826-1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.
О физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял. Создание А.Эйнштейном (1879-1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать как свод непререкаемых истин. В лучшем случае математика может гарантировать достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик в отдельности был теперь волен вводить свои собственные новые понятия и устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века по существу явилось следствием этой новой свободы.
Математическая строгость. Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не выполняется свойство коммутативности) заставили математиков осознать, что то, что они принимали за абстрактные и логически непротиворечивые утверждения, в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе.
Создание неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием существования в евклидовой геометрии логических пробелов. Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и несколько ошибочных доказательств.
Создание новых алгебр, начавшееся с квартернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т.е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У.Гамильтоном (1805-1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности. Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы. Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации практической поль
История математики
в России
Введение
Наша страна имеет богатую историю. В большей степени это касается социальных, общественно политических событий, которые происходили и происходят в России. Иногда несправедливо принижается её роль в развитии научной мысли. На первый, поверхностный взгляд может показаться, что все в науке сделано древними египтянами, греками, потом учеными Западной Европы. Действительно, Россия стала цивилизованной страной, когда элементарная математика уже была создана, поэтому в школьных учебниках мы встречаем теорему Пифагора, формулу Герона, доказательство Гаусса, но нет элементарных вещей созданных Ивановым, Петровым и Сидоровым. Для того чтобы добраться до дифференциальных уравнений математической физики, теорем о распределении простых чисел, сложных законов теории вероятностей, неевклидовой геометрии и услышать фамилии Чебышева, Остроградского, Ковалевской, Лобачевского и десятков других наших соотечественников нужно подняться на вершины высшей математики. Естественно, это удается не каждому, поэтому фамилии наших математиков известны специалистам, а не широкому кругу читателей.
Наша страна была первой в космосе, а за этой таинственной работой тысяч людей тоже скрыты сложные дифференциальные уравнения и математические расчеты, о которых мы не узнаем, да и не сможем понять. Отечественная космонавтика будет посложнее и гораздо полезнее в практическом плане, чем древнеегипетские пирамиды.
В работе хотелось бы восстановить справедливость и воздать должное нашим ученым. Кроме того, придется отдельно остановиться на исторических предпосылках оказавших сильное влияние на развитие научной мысли в России. Из всего обилия материалов отберем наиболее интересное, отличительное, подчеркивая эту уникальность при изложении.
Исторические предпосылки
Нет! таких не подмять не рассеять.
Бесшабашность им богом дана.
Ты, Рассея моя… Рассея…
Азиатская сторона!
Сергей Есенин
Естественный процесс заселения планеты человеком разумным начался в местах с теплым климатом по берегам крупных рек. Поэтому изначально впереди были Египет, Вавилон, страны Средиземноморья. В таких климатических условиях легче было выжить, меньше проблем с жилищами, с одеждой и даже с едой. Освоение северных земель требовало особых усилий не только физических, но и умственных. Только направлять эти усилия приходилось исключительно на одну тему – как выжить в условиях сурового климата. Почему не строили славяне громадных дворцов из камня, а долгое время обходились маленькими деревянными избенками? Потому что перед ними стоял вопрос, как натопить помещение в течение суровой зимы, чтобы хватило дров до тепла. Каменный дворец не нагреешь в наши морозы. Даже в настоящее время разница в климатических условиях приводит к тому, что мы не сможем жить как Соединенные штаты Америки, самый северный штат которой расположен на широте нашего Крымского полуострова. В Волгоградской области, относящейся к югу России, морозы зимой бывают за двадцать градусов ниже нуля. Для того чтобы жить в таких условиях требуются здания повышенной теплоизоляции, сложные системы отопления, теплая зимняя одежда, дополнительные калории в питании. А все это дополнительные деньги, которые мы вынуждены тратить, только на выживание. Плюс тридцать градусов летом, минус двадцать или больше зимой, постоянные перепады температуры, от которых портятся дороги, крыши домов. Страна задыхается от коммунальных проблем, о которых сытая Америка и такая же Западная Европа просто не знают. Хотя в этом есть один большой плюс: постоянное преодоление трудностей выковало особый русский несгибаемый характер. Наши морозы и бездорожье пробовала армия Наполеона, а через сотню с лишним лет технически оснащенные фашистские полчища, и они их не выдержали. Вспомните одинаково комичные изображения «драпающих» из России французов и немцев, укутанных во что попало. Для нас это не турне, а повседневная жизнь. Таким образом, суровые климатические условия это одна из причин, почему мы не стояли у истоков цивилизации.
Когда цивилизация стала проникать в Западную Европу, был момент, когда все там могло надолго приостановится – орды диких кочевников монголов поскакали в Европу. Дальше России они не прошли, а наша страна на триста лет была повергнута в дикость, кровь, пожары и прочие несчастья. По существу Россия защитила Западную Европу, закрыла ее собой. В течение следующего тысячелетия, вместо благодарности за спасение от нашествия степных дикарей, на Русь шли шведы и немцы, французы и турки, финны и японцы, то порознь, то объединяясь в различные союзы. «Ты помнишь, дядя, ведь недаром, Москва, спаленная пожаром, французу отдана…» – писал Лермонтов. Сколько набегов выдержала земля русская, сколько раз отстраивались заново города и деревни. У стран Западной Европы даже в войне иное отношение друг к другу, чем к России. Во второй мировой войне немцы оккупировали и Францию, но она осталась целехонькой, а половину нашей страны они спалили и разрушили. Русские в Отечественной войне 1812 года занимали Берлин, Гамбург, пришли в Париж, но не сожгли эти города, сильный не добивает слабого. Правда, в следующей Отечественной войне Берлину хорошо досталось, но здесь сами виноваты, нужно было сразу сдаваться. Огромное количество оборонительных войн, затем восстановлений народного хозяйства – вот вторая причина, постоянно отвлекавшая Россию от научного творчества.
«Призрак коммунизма» бродил по Европе во времена Карла Маркса, а полигоном для социальных экспериментов стала Россия. Западная Европа только смотрела на наши ошибки и на них училась. В результате они поступательно жили, а у нас постоянно что-то ломали (как Ленин) и строили заново (как Сталин), потом «перестраивали» (как Горбачев) и снова ломали (как Ельцин). Невольно возникает мысль об иностранных агентах влияния, ведь кому-то же это было нужно, только не нашему народу. Россия, чуть набравшись сил, бросалась помогать страждущим всего мира: мирить горячие кавказские народы, остепенять турецких янычар. Кому только мы не помогали в советские времена: Куба, Ангола, Египет, Корея, Камбоджа, Вьетнам и десятки других стран – туда шли деньги, грузы, лучшие люди. Потом был Афганистан, теперь Чечня и мировой терроризм. Какая еще страна столько вытерпела за свою историю? Вот вам и третий фактор нашей великой занятости проблемами далекими от математики.
В данный момент Россия остается единственным сдерживающим фактором между миром ислама и Западными странами. А там как всегда сыто живут и не понимают, что им грозит. Или понимают, но по привычке надеются, что на крики «Аллах Акбар!», снова послышится русское «Ура!» и Россия снова спасет мир, на этот раз от исламских фундаменталистов.
Наша страна ведет себя как старший брат в большой семье, который после восьмого класса идет работать, чтобы младшим братьям и сестрам дать возможность получить высшее образование. Только нам достались неблагодарные родственники, они стараются попрекнуть брата его малограмотностью и подчеркнуть свое развитие, ни на минуту не задумываясь, какой ценой это достигнуто.
На всякий случай, защитив свою Родину от нападок, можно переходить к математике. В принципе такая защита и не требовалась, потому что достижения России в математике огромны, и это вступление только подчеркивает, что достижения получены все-таки несмотря на множество имевших место негативных факторов.
Становление математики в России
Везде исследуйте всечасно,
Что есть велико и прекрасно,
Чего еще не ведал свет;
Трудами веки удивите…
М. В. Ломоносов
Русский счет. Предки русского народа – славяне – с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Х веке нашей эры у славян появилась письменность. С этого времени начинается «писаная» история Древней Руси.
У славян, как и у всех других народов, первым учителем математики была сама жизнь, практика. Постепенно рождались и накапливались навыки счета, правила измерения: ведь без этого нельзя было бы ни торговать, ни даже обмениваться продуктами. В летописях сохранились сведения о школах, которые учреждались повелением князей Владимира Святославовича (-1015), Ярослава Мудрого (978—1054). В первом тысячелетии у славян появилась денежная единица — рубль, название которой сохранилось до наших дней. Слово «рубль» происходит от глагола рубить. Первые рубли, по всей вероятности, были просто кусочками металла, которые отрубали от полосы серебра или меди. Для того чтобы разрубить металлическую полосу на равные части нужно было знать простейшие дроби: 1/2, 1/3, 1/4, уметь складывать и вычитать числа. При измерении полей славяне употребляли и более сложные дроби: 1/6, 1/8, и даже 1/32. В раскопках славянских селений ученые находили изображения циркуля. Значит, древним славянам были известны некоторые свойства окружности. Основу своего алфавита славяне вместе с христианской религией позаимствовали от средневековых греков – византийцев. Способ записи цифр буквами со специальными значками – «титлами» – над ними они тоже взяли от греков. В хозяйственной жизни далекого прошлого люди обходились сравнительно небольшими числами – так называемым «малым счетом». Он доходил до числа 10 000, которое в самых старых памятниках называется «тьма», то есть темное число, которое нельзя ясно представить. В дальнейшем граница малого счета была отодвинута до 108, до числа «тьма тём». Старинная рукопись по этому случаю заявляет, что «больше сего числа несть человеческому разуму разумети».
Но наряду с этим «малым счетом», «коли прилучался великий счет и перечень», употреблялась вторая система, называвшаяся «великим числом или счетом» или «числом великим словенским». В нем употреблялись более высокие разряды: тьма — 106, легеон — 1012, леодр — 1024, ворон — 1048, иногда еще колода — десять воронов — 1049 (хотя нужно было за колоду принять, следуя системе, 1096).
Для обозначения этих больших чисел наши предки употребляли оригинальный способ, не встречающийся ни у одного из известных нам народов: число единиц любого из перечисленных высших разрядов обозначалось той же буквой, что и простые единицы, но окруженной для каждого числа соответственным бордюром. Величайшие греческие математики не додумались до этого способа записи чисел. Таких больших чисел не требовала в то время никакая практическая задача. Архимед, величайший греческий математик, сосчитал, что число песчинок во всем мировом пространстве, как это понимали в то время, не превышает 1063. Славянский «числолюбец» сказал бы, что это число песчинок не больше тысячи легеонов воронов: 1063=103?1012?1048. Кстати, в первом печатном русском учебнике математики, в «Арифметике» Магницкого Л. Ф. (1703), даются уже принятые сейчас термины для больших чисел (миллион, биллион, триллион, квадриллион), дойдя до 1024, автор заявляет, что больших чисел не потребуется.
Русская математическая терминология не является чем-то вечным, застывшим. Лет 200-300 назад она весьма сильно отличалась от современной. Русская терминология обогащалась как за счет создания новых названий математических понятий с русскими корнями, так и за счет заимствования некоторых иностранных терминов. Возможно, вы не замечали одной странности в образовании названий чисел: одиннадцать=один-на-дцать=один-на-десять, двенадцать = два-на-десять и так далее, двадцать = два-десять, тридцать = три-десять, пятьдесят, шестьдесят и так далее вообще понятно. Но в отличие от общего правила числа 40 и 90 получили названия «сорок» и «девяносто», а не «четырьдцать» или «четырьдесят» и «девятьдесят». Как возникли эти названия?
Известно, что в древние времена в качестве денег употреблялись меха – позднее кожаные деньги (кусочки кожи с клеймами). Указ Петра I еще в 1700 году утверждает, что «в Калуге и в иных городах вместо серебряных денежек торгуют кожаными». По «Толковому словарю живого великорусского языка» Владимира Даля, 40 собольих мехов составляли полную шубу и вкладывались в «чехол или в сорочку». Отсюда название числа «сорок». Аналогичное образование имен числительных наблюдается и в других языках. В Дании, например, продают рыбу партиями в 80 голов, надетыми на жердь. Название «жердь» стало у них и названием числа 80.
Бок
Сторона
Дефиниция
Определение
Дистанция
Расстояние
Колесо
Круг
Корпуленция
Объем
Кружало
Циркуль
Мимоплоское
Параллелепипед
Мыслие
Теорема
Нетощее
Тело
Остие
Центр круга
План
Плоскость
Перечень
Произведение сомножителей
Радикс
Корень
Солид
Тело
Суперфиция
Площадь
Цифра
Нуль
Штирометрия
Стереометрия
Числительное «девяносто» производят от слов «девять до ста»: между числами 90 и 100 в натуральном ряду стоят девять чисел. Другого, лучшего объяснения ученые пока не дают.
Приведем еще несколько примеров терминологии из различных старинных русских книг по математике. Для удобства сведем их в небольшую таблицу, в одном столбце которое старое русское название, а рядом современное общепринятое его толкование.
Русские счёты. Этот простой и полезный инструмент для арифметических вычислений просуществовал несколько столетий и утратил свое значение только лет двадцать назад. До тех пор они были такой же необходимой «офисной принадлежностью», как сейчас компьютер. Счеты лежали под рукой у каждого продавца в магазине, у счетоводов в различных конторах. В умелых руках этот нехитрый прибор мог соперничать с дорогостоящими вычислительными машинами. Я. И. Перельман в своей книге «Занимательная арифметика» описывает интересную дореволюционную историю. Перед представителями иностранной фирмы, производящей счетные машины устроили соревнование между двумя счетчиками, из которых один работал на дорогой заграничной вычислительной машине, другой же пользовался обыкновенными счетами, но был мастером своего дела. И последний взял верх в быстроте и точности вычислений, так что иностранцы вынуждены были сложить свою машину в чемодан, на надеясь продать у нас ни одного экземпляра. Как сказали бы в современной рекламе: «Зачем платить больше?» Интересный пример вычисления на счетах есть в рассказе А.П. Чехова «Репетитор».
В Западной Европе практически не пользовались счетами, они встречались там только как наглядное пособие в школах. Прообразом современных счетов явился так называемый дощаный счёт, возникший впервые в России в 16 веке. Большое влияние на создание дощаного счёта оказала система налогового обложения в России 15—17 вв. (сошное письмо), при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части. Дощаный счёт представлял собой два складывающихся ящика.
Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости. В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость, расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и т. д.). Дроби суммировались без приведения к общему знаменателю, например «четь да полтрети, да полполчети»:
.
Иногда операции с дробями производились как с целыми при помощи приравнивания целого (сохи) к определённой сумме денег. Например, при равенстве соха = 48 денежным единицам приведённая выше дробь составит 12 + 8 + 3 = 23 денежные единицы. На рисунке – слева отложена сумма дробей , а справа 30 рублей 18 алтын деньги.
С переходом к арабским цифрам и отменой сошного письма счеты утратили в конце 17 века ряды для дробей, а в начале 18 века лишились второго ящика и приобрели свой современный вид (сохранившийся в счетах один неполный ряд, обычно из четырёх костей, отделяет два ряда для десятых и сотых единицы, а также иногда служит для счёта четвертей и половинок).
Русские математические книги.
Монах Кирик написал в 1134 году книгу «Кирика – диакона Новгородского Антониева монастыря учение, им же ведати человеку числа всех лет». В этой книге Кирик подсчитывает, сколько месяцев, сколько дней, сколько часов он прожил, вычисляет в месяцах, неделях и в днях время, прошедшее до 1134 года от «сотворения мира», выполняет разные вычисления дней церковных праздников на будущее время. При счислении времени Кирик употребляет «дробные часы», подразумевая под ними пятые, двадцать пятые, сто двадцать пятые (и так далее) доли часа.
Далее следует период татаро-монгольского ига, после свержения которого оказалось, что Россия значительно отстала от других европейских стран. Только в XVI веке, при Иване Грозном, на Руси появляются первые рукописные учебники по математике, а немного позже – печатные книги о применении математики для различных практических нужд. Исконно русским руководством, излагавшим приемы измерения площадей, является «Книга сошного письма», самый древний экземпляр которой относится к 1629 году. Имеются ведения, что оригинал был составлен еще раньше, при Иване Грозном в 1556 году.
При вычислении площадей фигур рекомендуется в этой книге разбивать их на квадраты, прямоугольники, треугольники, трапеции. Площади квадрата и прямоугольника вычислялись по применяемым сейчас правилам. Площадь же треугольника находилась как половина произведения основания на боковую сторону. Последнее правило, буквально понятое, неверно, так как оно справедливо лишь для прямоугольного треугольника. Возможно, что русская землемерная практика имела дело только с прямоугольными или почти прямоугольными треугольниками, и в таком случае, мы не имеем основания делать упрек нашим предкам в незнании правил начальной геометрии. В те отдаленные времена земля не являлась предметом купли-продажи, и точность результата измерения играла не значительную роль. Оказывается, что в южнорусских губерниях, где свободной земли было много и она поэтому не ценилась, такие приемы оценки площадей применялись еще в ХIХ веке.
При Иване Грозном было составлено и первое русское руководство по землемерию – книга «… глубокомудрая, дающая легкий способ измерять места самые недоступные, плоскости, дебри». А в середине XVI века была составлена первая общая карта Европейской России, которая вместе с «Чертежами Сибирских земель» 1667 года считается самым замечательным памятником русской картографии. В одной из рукописей XVI века впервые упоминается «премудрый Клидас», то есть основоположник нашей современной геометрии – Евклид.
Ранние русские рукописи содержат и теорему Пифагора. Но в них нет явного указания о том, что теорема имеет место только для прямоугольного треугольника. Возможно, что ею пользовались для приближенного нахождения расстояния и в том случае, когда треугольник почти прямоугольный. В 1625 году была переведена с английского языка книга по геометрии, где дается учение о круге. Эта рукопись представляет, по-видимому, обработку «Начал» Евклида, то есть первую часть нашего обычного школьного учебника геометрии.
В 1703 году Леонтий Филиппович Магницкий опубликовал громадную книгу под длинным названием: «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и во едино собрана и на две книги разделена… Сочинися сия книга через труды Леонтия Магницкого».
Книга эта содержит начала математических знаний того времени: арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. В конце книги имеется снабженный большим числом таблиц отдел, посвященный морскому делу. Большую часть книги, как указывает и ее заглавие, автор посвящает арифметике. Магницкий высоко ценит теорию. Он делит свою «Арифметику» на две книги: первую называет «арифметика-политика», вторую – «арифметика-логистика». Первая назначается для тех, кто желает только научиться решать практические вопросы: «исчисляти всякое исчисление в продаже и куплях». Эта часть изложена без доказательств, рассказом и показом – решением примеров.
Вторая часть – «арифметика-логистика» – решает общие вопросы, «токмо уму нашему подлежащие». Магницкий заявляет, что их решать при помощи простых средств «арифметики-политики» нельзя. Без обоснования правил все последующее построение непрочно и бесполезно и так поступать будет неуместно.
Такую же разъяснительную работу проводит и первый печатный учебник геометрии – «Приемы циркуля и линейки» (1709): «Кто хвалит только теорию, укладывает лишь хорошее основание, на котором он ничего не строит; это подобно пушкам, которые не вывозятся на поле сражения, или кораблям, гниющим в гавани. Такой теоретик подобен ремесленнику, знающему свое дело, но знаний своих не применяющему, инженеру, который строит крепости только на бумаге, корабельщику, ездящему в своем доме по карте в Америку. Не лучше и тот, что одну только практику признает: это человек, строящий крепость на песке, подводящий подкоп под Дунай-реку и думающий на кое-как сколоченном плоту совершить путешествие в Индию».
Книга Евклида впервые в печати на русском языке появилась в 1739 году под заглавием: «Евклидовы элементы в осьмь книг через профессора математики Андрея Фархварсона сокращенные. С латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенные. В Санкт-Петербурге, 1739». Продолжением этой книги являлись вышедшие в 1745 году «Архимедовы теоремы» в переводе того же Ивана Сатарова. Через эти книги русскому читателю стало доступным все существенное из классического наследия по элементарной геометрии.
Российские математики.
Дерзайте ныне ободренны
Раченьем вашим показать,
Что может собственных Платонов
И быстрых разумом Невтонов
Российская земля рождать.
М.В. Ломоносов
Одно только перечисление российских математиков займет не одну страницу, но их имена не известны широким кругам нашего общества, потому что они занимались очень сложными математическими вопросами. Откройте Энциклопедический словарь на одну букву «А» и прочитайте, к примеру, всех академиков-математиков по фамилии Александров:
Александров Александр Данилович (1912-99), российский математик, академик РАН (1991; академик АН СССР 1964). В 1952-64 ректор ЛГУ. Основные труды по геометрии и ее приложениям, основаниям теории относительности и философии естествознания. Государственная премия СССР (1942).
Александров Анатолий Петрович (1903-94), российский ученый, академик РАН (1991; академик АН СССР с 1953), президент АН СССР (1975-86), трижды Герой Социалистического Труда (1954, 1960, 1973). Ленинская премия (1959), Государственная премия СССР (1942, 1949, 1951, 1953). Золотая медаль им. И. В. Курчатова (1968), им. М. В. Ломоносова (1978), им С. И. Вавилова (1978) и др.
Александров Павел Сергеевич (1896-1982), российский математик, основатель научной школы по топологии, академик АН СССР (1953), Герой Социалистического Труда (1969). Труды по топологии, теории множеств, теории функций. Государственная премия СССР (1943).
Только ради интереса посмотрим в Энциклопедическом словаре исконно русские фамилии Иванов, Петров и Сидоров.
Иванов Валентин Константинович (1908-92), российский математик, член-корреспондент РАН (1991; член-корреспондент АН СССР с 1970). Труды по теории функций, некорректным задачам математической физики. Ленинская премия (1966).
Иванов Иван Иванович (1862-1939), математик, член-корреспондент АН СССР (1925; член-корреспондент РАН с 1924). Труды по теории чисел.
Петров Александр Александрович (р. 1934), российский ученый в области прикладной математики и информатики, академик РАН (1997; член-корреспондент РАН с 1991). Труды в области математического моделирования сложных систем и методам оценки потенциальных возможностей экономики на основе множества критериев. Государственная премия СССР (1980).
Петров Борис Николаевич (1913-80), российский ученый, академик (1960), вице-президент (с 1979) АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Труды по теории автоматического регулирования, системам автоматического управления движущимися объектами, самонастраивающимся системам. Ленинская премия (1966), Государственная премия СССР (1972).
Петров Вячеслав Вячеславович (р. 1912), российский ученый, член-корреспондент РАН (1991; член-корреспондент АН СССР с 1972). Основные труды по технической кибернетике, теории автоматического регулирования. Государственная премия СССР (1972).
Сидоров Анатолий Федорович (1933-99), российский математик, академик РАН (1991). Основные труды по аналитичеким методам гидроаэромеханики, численным методам решения задач механики сплошной среды.
И это только мизерная часть огромного отряда высокообразованных российских ученых в области математики.
Разве могла бы наша страна первенствовать в космонавтике, если бы не имела крупнейших ученых мирового уровня С. П. Королева, М. В. Келдыша, А. Н. Колмогорова, А. П. Александрова. Только понять их вклад в науку на уровне теорем, уранений и неравенств сможет не всякий учитель математики, не говоря уже о простых обывателях. Поэтому дальнейший выбор из десятков великих людей тех, о ком здесь написать будет субъективен из-за ограниченных рамок реферата. Только две личности, с русским несгибаемым характером борца.
Россия дала миру не только первую женщину-космонавта, но и первую женщину-математика. Её биография позволяет судить насколько сложно было этого добиться несмотря на природные способности.
Ковалевская Софья Васильевна [3(15).1.1850, Москва, — 29.1(10.2).1891, Стокгольм], русский математик, а также писатель и публицист, первая женщина – член-корреспондент Петербургской АН (1889). Ковалевская получила всестороннее образование и рано обнаружила незаурядные математические способности. С 1866 в Петербурге она брала уроки математики у известного педагога А. Н. Страннолюбского. Доступ женщинам в Петербургский университет в то время был закрыт. В 1868 Ковалевская, чтобы иметь возможность заняться наукой, вступила в фиктивный брак и в 1869 уехала в Гейдельберг, где изучала математику. В 1870 переехала в Берлин, где 4 года работала у Карла Вейерштрасса, согласившегося давать ей частные уроки (в Берлинский университет женщины тоже не допускались). В 1874 на основании трёх работ Ковалевской, Гёттингенский университет заочно присудил ей степень доктора философии. В 1874 вернулась в Россию, однако она не смогла получить место в Петербургском университете. Поэтому почти на 6 лет отошла от научной работы, занялась литературно-публицистической деятельностью, сотрудничая в газетах. В 1880 переехала в Москву, но в университете ей не разрешили сдавать магистерские экзамены. В 1881 снова уехала в Берлин, а затем в Париж, пытаясь получить место профессора на Высших женских курсах во Франции. В ноябре 1883 выехала в Швецию, получив приглашение занять должность приват-доцента в Стокгольмском университете. В 1884 была назначена профессором Стокгольмского университета. В 1888 ею написана работа «Задача о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки»; за эту работу Парижская академия наук присудила С. В. Ковалевской премию. За вторую работу о вращении твёрдого тела (в следующем году) была присуждена премия Шведской академии наук. Ковалевская – автор повести «Нигилистка» (1884), драмы «Борьба за счастье» (1887), семейной хроники «Воспоминания детства» (1890).
Каким незаурядным умом и научной смелостью нужно обладать, чтобы выдвинуть положение спорящее с самим Евклидом. Так и хочется воскликнуть: «Знай наших!»
Лобачевский Николай Иванович [1792, Нижний Новгород – 1856, Казань], русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист, деятель университетского образования и народного просвещения. Родился в семье мелкого чиновника. Почти всю жизнь провёл в Казани: учился в гимназии (1802-07), затем в Казанском университете (1807—11). Рано обнаружил выдающиеся способности, по окончании университета получил степень магистра (1811) и был оставлен при университете; в 1814 стал адъюнктом, в 1816 – экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Преподавал математику, физику и астрономию, закупил в столице оборудование для физического кабинета и книги для библиотеки, а затем возглавлял её 10 лет (с 1825); заведовал обсерваторией; избирался деканом физико-математического факультета (1820-22, 1823-25). В эти годы Лобачевский отыскивал пути строгого построения начал геометрии. Сохранились студенческие записи его лекций (от 1817), где им делалась попытка доказать постулат параллельности Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» на 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы. Наконец, преодолев тысячелетние традиции, он приходит к созданию новой геометрии – так называемой геометрии Лобачевского. 7 февраля 1826 он представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» (1829-30), явившийся первой в мировой литературе публикацией по неевклидовой геометрии. Исходя из поисков безусловной строгости и ясности в началах геометрии, он рассматривает аксиому параллельности Евклида как произвольное ограничение, как требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. Он заменяет эту аксиому требованием более широким и общим, именно: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную (по существу не менее чем одна, если учесть предельный случай).
Разработанная Лобачевским новая геометрия существенно отличается от евклидовой геометрии, но при больших значениях входящей в формулы некоторой постоянной R (радиус кривизны пространства) отклонение становится незначительным.
В соответствии со своим материалистическим подходом к изучению природы, Лобачевский полагал, что только научный опыт может выявить, какая из геометрий осуществляется в физическом пространстве. Используя новейшие астрономические данные того времени, он пришёл к выводу, что число R очень велико и отклонения от евклидовой геометрии если и существуют, то заключены в пределах ошибок измерений. Таким образом, была обоснована практическая пригодность евклидовой геометрии. Кроме того, Лобачевский показал, как его геометрию можно применять в других разделах математики, а именно в математическом анализе при вычислении определённых интегралов.
Лобачевского избрали ректором Казанского университета (1827) и за 19 лет руководства университетом он добился его подлинного расцвета. В бытность Л. ректором было осуществлено в 1832—40 строительство целого комплекса вспомогательных зданий: библиотека, астрономическая обсерватория, физический кабинет и химическая лаборатория, анатомический театр, клиника и др. Он положил начало «Учёным запискам Казанского университета» (1834) и развил издательскую деятельность. Уровень научно-учебной работы повысился, контингент студентов возрос, университет стал важным центром востоковедения. Но ректорство не отрывало Лобачевского от преподавания: в разные годы он читал лекции по аналитической механике, гидромеханике, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям, математической физике, вариационному исчислению, а в 1838—40 — научно-популярные лекции по физике для населения. Студенты высоко ценили лекции Николая Ивановича.
Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 советом университета в Академию наук, получил отрицательную оценку. Лобачевский получил ряд ценных результатов и в других разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений, в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.
Заключение
Если крикнет рать святая:
«Кинь ты Русь, живи в раю!»
Я скажу: «Не надо рая,
Дайте Родину мою».
Сергей Есенин
Чувство патриотизма в повседневной жизни таится где-то в глубине души, и мы зачастую критикуем правительство и страну, возмущаемся творимыми над нами экспериментами, слишком превозносим достижения развитых капиталистических стран. Но стоит только возникнуть необходимости встать на защиту своей Родины, пусть даже посредством написания простого реферата, как мобилизуются внутренние силы, о которых сам и не ведаешь, находятся нужные аргументы и правильные слова. Мне кажется, это заметно со стороны, а значит – тема реферата все-таки раскрыта.
Хотя раскрыта не полностью, потому что из-за обилия материала, при ограниченном объеме работы, трудно сделать правильный отбор, выбираешь главное на свое усмотрение, то есть субъективно. Хочется использовать заключение, чтобы хоть вскользь упомянуть еще об одном историческом факте. Представьте себе, но в бытность Петра Великого, утечка мозгов происходила в другом направлении: из Западной Европы в Россию. В состав Российской Академии наук вошли люди, которые были бы украшением любой из европейских академий, например, один из великих творцов современного анализа Леонард Эйлер. Леонарда Эйлера считают самым плодовитым математиком восемнадцатого столетия, если только не всех времен. Только при жизни было опубликовано около 550 его книг и статей. В 1909 Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера, которое было завершено только в 1975; оно состоит из 72 томов.
Список литературы
Большая Советская Энциклопедия (электронный вариант).
Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989.
Кольман Э., История математики в древности, М., 1961.
Мир чисел. Занимательные рассказы о математике: Сост.: Ю.И. Смирнов. СПб.: ИКФ «МиМ-Экспресс», 1995.
Перельман Я. И. Занимательная арифметика. – М.: АО «Столетие», 1994.
Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, перевод с немецкого, 4 изд., М.: Наука, 1984.
Энциклопедический словарь юного математика. М.: Просвещение, 1985.
Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.
Академик А.Н. Колмогоров выделяет четыре периода развития математики: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.
Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI — V вв. до нашей эры. Это было началом периода элементарной математики.
В течение этого периода исследования в математике имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже происходит качественное совершенствование математики как науки. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел, как раздел математики. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии — геометрии Евклида — на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения теории математики.
В XVII в. запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих изучать движение с помощью математики, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.
На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем в математике такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятие величины и числа. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа — методу координат Р. Декарта. С другой стороны, открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в. к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и в следствие внутренней потребности самой математики. Замечательным примером такой теории является “воображаемая” геометрия Н. Лобачевского. Развитие подобного рода исследований в математике XIX — XX вв. позволяет отнести ее к периоду современной математики.
Потребности развития самой математики, “математизация” различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения аксиоматического подхода в математике является евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуждения. В силу объективной необходимости, указывает чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцев , логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по себе играет большую роль в математических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.
В математике изучаются математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений, так и объекты (структуры) для изучения этих моделей. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
В математике используются два вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот — на основании частных случаев об общих суждениях. Принцип математической индукции гласит, что утверждение А(п), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и для любого натурального числа п из предположения, что верно А(п), доказано, что верно также А(п+1).
При формулировке утверждений в математике часто используются необходимые и достаточные условия. Пусть рассматривается какое-либо утверждение (положение) В в связи с некоторым утверждением (условием) А. Если из В следует А, т. е. В=> А, то А называется необходимым условием для В, если же из А следует В, т. е. А=>В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 —необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 => делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 — достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 => делимость на 6). Если одновременно верны утверждения В=>А и А=>В, т. е. A B, то А называется необходимым и достаточным условием для В. Например, для делимости числа на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и 3, ибо делимость на 2 и 3 делимости на 6.
Таким образом, необходимые условия — те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия — те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно. Выражение “необходимо и достаточно”, можно заменить равносильными выражениями “тогда и только тогда”, “если и только если”, “в том и только в том случае”. Необходимые и достаточные условия обладают в математике большой познавательной ценностью. Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.
Основы высшей математики были разработаны в трудах выдающихся ученых: математика и механика Древней Греции Ар химеда (287—212 гг. до нашей эры); французского философа и математика Р. Декарта (1596—1650); английского физика и математика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа, математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математика, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французского математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); немецкого математика К. Гаусса (1777—1855); французского математика О. Коши (1789—1857) и многих других крупнейших ученых.
Большой вклад в развитие математики внесли выдающиеся русские математики — Н.И. Лобачевский (1792—1856), М.В. Остроградский (1801—1861), П.Л. Чебышев (1821—1894), А.А. Марков (1856-1922), А.М. Ляпунов (1857-1918) и другие.
Современная российская математическая школа занимает передовое место в мировой математической науке благодаря трудам знаменитых математиков: А.Д. Александрова, П.С. Александрова, В.И. Арнольда, С.Н. Бернштейна, Н.Н. Боголюбова, И.Н. Векуа, И.М. Виноградова, В.М. Глушкова, Л.В. Канторовича, М.В. Келдыша, А.Н. Колмогорова, М.А. Лаврентьева, Ю.В. Линника, А.И. Мальцева, П.С. Новикова, Ю.В. Прохорова, В.И. Смирнова, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова и многих других.
Зародилась математика в древнейшие времена. В те доисторические времена человек активно осваивал окружающий мир, накапливал фактический материала и преумножал жизненный опыт. Долгое время счет у древних людей был вещественным, то есть осуществлялся с помощью палочек, камней, пальцев и прочего. Постепенно к первобытному человеку пришло понимание того, что число можно отделить от его конкретного представителя. Древние люди сумели понять, что два яблока и два камня, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека. Так постепенно сформировалось понятие о натуральных числах, а к концу VII V вв. до н. э. и другие основные постулаты математики.
Бурное развитие математической науки обусловлено потребностями хозяйственной жизни человека. Земледелие, ремесло, обмен, торговля, налоги, обеспечение продовольствием, создание армии, измерение площадей земельных владений, объемов сосудов и многое другое заставляло людей заниматься счетом и вычислением. Со временем накопленные знания были приведены в четкую систему, благодаря чему человек смог вычленить особые понятия, методы и способы решения трудных задач, которые впоследствии легли в основу современной математической науки.
Еще в глубокой древности задолго до наступления нашей эры были сформулированы три основных понятия математики: число, величина и геометрическая фигура. В процессе тщательного счета и упорядочивания убитых на охоте зверей, сделанных горшков в мастерской, собранного урожая, возникло понятие натурального числа, как количественного, так и порядкового. В результате сравнения масс и объемов разнообразных сосудов и предметов человек пришел к пониманию понятия величина. В следствие изучения форм изделий и предметов, зданий и земельных участков и т.д. люди сформировали понятие геометрической фигуры, являющейся частью геометрического (буквально означает — измерение земли) пространства, сформированные абстрактные понятия были введены в арифметические действия над натуральными числами. Спустя некоторое время была установлена связь между натуральными числами и величинами, в результате чего появились дробные числа. Они получались в случае, когда результат измерений не выражался натуральным числом. Постепенно путем наблюдений и простейших логических рассуждений, люди пришли к простым, но гениальным по своей сути формулам для вычисления геометрических величин — длин, площадей, объемов. Из этого следует, что в это время арифметика и геометрия считались частями одного целого.
Цифры – условные знаки для обозначения чисел.
Первые цифры появились у египтян и вавилонян. У ряда народов (древние греки, финикияне, евреи, сирийцы) цифрами служили буквы алфавита, аналогичная система применялась и в России до 16 в. В средние века в Европе пользовались системой римских цифр (I, II, III, IV, V, VI и т. д.), основанной на употреблении особых знаков для десятичных разрядов
I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Современные цифры (арабские) перенесены в Европу арабами в 13 в. (по-видимому, из Индии) и получили широкое распространение со 2-й пол. 15 в. В узком смысле слова цифрами называются знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Элементарная математика
С VI- XVIII веках до нашей эры длился полный уникальных открытий период в развитии математической науки. К этому времени математика становится самостоятельной наукой, с целым рядом своеобразных понятий и методов. Теперь начинается систематическое и логически последовательное посторенние основ математической науки.
Наиболее ценный вклад в становление математики внесли ученые Древней Греции. Главным достижением математической мысли того времени является становление и развитие понятия о доказательстве. В данный период развития цивилизации ученые стремились к четкому, последовательному и логическому построению своих мыслей. Древние греки строго выстраивали свои мысли и высказывания, в результате чего переход от одного смыслового звена к следующему не допускал места сомнениям, был неоспорим и заставлял всех принимать его без спора. Такой метод логических рассуждений получил название дедуктивного.
Дошедшие до нас тексты древнегреческого ученого Фалеса из Милета, позволяют считать его первым философом, который использовал в математике дедуктивный метод и доказательства. Именно Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и другие геометрические утверждения.
Метод логического доказательства математических утверждений Фалеса был всесторонне развит и усовершенствован учеными пифагорейцами в конце VI в. — середине V в. до н. э. Ученые пифагорейской школы доказали математическое утверждение, известное нам как теорема Пифагора.
Именно пифагорейцы предприняли первую попытку к сведению геометрии и алгебры к арифметике. По их мнению, «все есть число», при этом под словом «число» ученые пифагорейской школы подразумевали лишь натуральные числа. Эта предположение было опровергнуто самими же пифагорейцами. Новое открытие стало поворотным пунктом в развитии математической науки. Открытие заключалось в том, что пифагорейцы доказали несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Доказательство, основанное на теореме Пифагора, обнаружило несостоятельность и бессмысленность попыток свести геометрию к натуральным числам. Проанализировав доказательство, были сформированы основные положения Теории чисел (четности и нечетности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.)
Следующим этапом развития элементарной математики явилась попытка греческих ученых обосновать математику, оперируя геометрическими понятиями. С этого момента начинается развитие геометрической алгебры. Геометрический подход к алгебре сохранился и по сей день в некоторых терминах, к примеру, квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.Вклад древнегреческих математиков трудно переоценить. Благодаря их трудам математическая наука продвинулась очень далеко. Именно древние греки классифицировали открыли все виды правильных многогранников, вывели основные формулы для определения объемов тел, изучили кривые линии — эллипс, гиперболу, параболу, спирали.
В становлении математики этого периода главную роль сыграла книга Евклида «Начала». Выдающийся труд представлял собой синтез и систематизацию основных достижений математической науки. Книга Евклида на протяжении многих веков служила главным источником знаний, была уникальным образцом строгого, логически стройного изложения математических доказательств. «Начала» подвели промежуточный итог в развитии математических идей.Элементарная математика Древней Греции не знала отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления. Они появятся лишь в III веке нашей эры в трудах александрийского математика Диофанта.Теперь центр математической науки перемещается на Восток, в Индию и арабские страны, а также в Китай.В конце рассматриваемого периода были введены отрицательные числа и ноль, развита тригонометрия, создана новая область математики — алгебра, как буквенное исчисление. Таким образом, период элементарной математики завершается. Теперь направление математических исследований изменяется в сторону математических величин.
XVII — XVIII века— третий период развития математической науки. Начало века было ознаменовано выдающимися математическими исследованиями Рене Декарта. В своих трудах Декарт исправляет ошибочные представления античных математиков и вновь возвращает числу алгебраическое понимание взамен геометрического. К тому же Декарт показывает новый способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык. Это осуществлялось с помощью системы координат, которая впоследствии стала носить имя своего создателя. Благодаря декартовой системе координат эффективность математических исследований становится на порядок выше. Таким образом, появилась аналитическая геометрия. Кроме того, именно Рене Декарту принадлежит заслуга введения нового математического понятия переменной величины.
Выдающимся достижением рассматриваемого периода в становлении математической науки явилось введение нового обобщенного понятия функции. Введенное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем, понятие функции воплотило в себе общефилософскую идею о всеобщей взаимосвязи явлений материального мира.
Понятия переменной и функции есть не что иное, как абстракции конкретных переменных величин таких, как координата, скорость, ускорение и тому подобные, и конкретных зависимостей между ними, к примеру, закон свободного падения. Результатом углубленного изучения общих свойств зависимостей между переменными величинами стало создание математического анализа. XVIII век по праву называют веком анализа в математике. Благодаря обмену идеями, происходившему в процессе взаимодействия, была сформирована математическая физика.
В области геометрии и механики конца XVII в. было также сделано немало важных открытий. Выдающийся английский физик и математик Исаак Ньютон создал основу дифференциального и интегрального исчисления. Это открытие Ньютон совершил одновременно с Г.В. Лейбницем. Анализ и механика развивались в тесном взаимодействии, однако впервые эти две области научного знания объединил Эйлер. Теперь механика стала прикладным разделом анализа.
Значительные успехи в этой области были достигнуты в XVIII-XIX столетиях. К этому времени математики научились составлять и решать дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, в которых соединялись многие вопросы математической физики.
На рубеже XVIII — XIXвв в свет выходят многочисленные специализированные математические журналы. Значительно увеличивается количество научно-популярной литературы. В это же время возникает и развивается теория вероятностей.
В современный период развития математической науки, впитавший в себя достижения предыдущих эпох, было сделано много невероятных открытий, опровергнуты ошибочные убеждения, созданы и развиты новые теории.
Одним из самых выдающихся открытий того времени является построение так называемой неевклидовой геометрии. Созданная великим русским математиком Н. И. Лобачевским новая геометрия стала своеобразным символом внутреннего развития математики. Теперь аксиомы рассматривают как гипотезы. К концу XIX века сложился ряд строгих требований к практической работе математиков, который сегодня составляет предмет математической логики.
Не менее важным этапом в развитии математической науки стало углубленное изучение геометрических пространств. Весомый вклад в развитие этой области внес Риман. Интенсивное изучение функциональных пространство позволило создать новый раздел математики — функциональный анализ, в котором геометрические понятия и идеи используются для решения сложных задач математического анализа.
В области механики и математической физики разработана теория обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частичными производными и пр.
Направление алгебраических исследований изменяется в сторону общих алгебраических систем, теории групп, полей, колец. На стыке алгебры и геометрии возникает новая теория непрерывных групп.
Новые методы анализа и алгебры, созданные в начале ХХ века, были использованы при создании и дальнейшем использовании ЭВМ. Таким образом, было найдено практическое применение результатов теоретико-математических исследований, а методы анализа и алгебры легли в основу нового раздела науки — вычислительную математику.
Слово «математика» произошло от др.-греч. mбthзma, что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. mathзmatikуs, первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, математике. В частности, ars mathematica, означает искусство математики.
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов.
«Математика – царица наук» – говорили древние и, во многом, были правы. Математика – одна из древнейших наук, возникшая раньше письменности и многого другого. Ещё люди каменного века занимались простейшим счётом, делая зазубрины на кости и дереве пометки на различных предметах. Учёными найден наскальный рисунок, датированный ещё эпохой палеолита, изображающий число 35 в виде выстроенных в ряд 35 палочек пальцев. Первые достижения геометрии связанны с такими простыми понятиями как прямая и окружность.
Своё дальнейшее развитие царица наук получила с помощью вавилонян и египтян. Представители этих двух цивилизаций, в отличии от праздных греков, использовали науку в основном для хозяйственных нужд. Клинописные глиняные таблички вавилонян, датированные промежутком времени с 2000 тыс. лет до н. э. до 200 тыс. лет до н. э., способны много сказать нам об уровне хозяйственной жизни древней цивилизации. Алгебры вавилоняне использовали для торговли, подсчёта налогов, строительства зернохранилищ. Важнейшей задачей для тогдашних учёных был расчёт календаря, так как по нему велись все сельскохозяйственные работы. Деление окружности на 360 градусов, а минуты на 60 секунд, ввели в обиход именно вавилоняне. Система записи чисел тогда была достаточно сложной: например одни и те же символы могли обозначать как число 21, так и дробь 21/60, и даже (20/60 + 1/60*60). Неоднозначность записи разрешалась в зависимости от контекста. Во многих областях алгебры вавилоняне достигли впечатляющих успехов: им было известно примерное значение корня из двух, способ решения квадратных уравнений и уравнений с десятью неизвестными. Уравнения кубов и четвёртой степени так же не являлись неразрешимой задачкой для наших предков.
Не меньших, по тем временам, успехов достигли в алгебре и геометрии египтяне. Жители долины Нила, подобно народу Месопотамии, использовали математику как практическое орудие. Египтяне вычисляли вес тел, площади посевов, размеры налогов, и объёмы зернохранилищ. Нередкой была задачка, сколько пшеницы потребуется для варки определённого количества кружек пива. Попадались и более сложные задачки, например, с условием, что для варки используются разные сорта зерновых. В таких случаях использовались переводные коэффициенты. Однако главной областью приложения математических знаний была астрономия. Наблюдая за движениями небесных тел, составлялись карты и календари, вычислялись орбиты и прочие параметры, заметные древних астрономам. Математика, используемая при сооружении пирамид, надо сказать, была достаточно примитивной. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида.
В целом, сложно назвать древнею математику прогрессивной и развитой. Она сыграла огромную роль в становлении эти двух цивилизаций, ведь не имея таких знаний, нашим предкам не удалось бы создать действенные оросительные системы, вести упорядоченный сбор налогов, успешно заниматься земледелием. Однако, ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.
С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки. Им мы обязаны большей частью современных гипотез и основополагающих теорем, они первыми пришли к дедуктивному методу исследования математики. И тому есть простейшее объяснение – рабство. Общество, целиком и полностью основанное на невольничьем труде, могло позволить себе заниматься математикой, естествознанием или философией. Как мы уже обговорили, математика до греков представляла собой собрание эмпирических знаний, ничем не систематизированных. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия. Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в, уже обговоренном, устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.
Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому, который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Ещё один великий грек, чьё имя мы ассоциируем с математическими науками, был Пифагор. Пифагор и его последователи, пифагорейцы, создали чистую математику в форме чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, и даже слово “калькуляция” (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего “камешек”. Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д. Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. При этом полное неприятие и даже смятение вызывали у греков иррациональные числа. Впервые столкнувшись в геометрии с числом корень из двух, пифагорейцы растерялись и даже решили держать открытие в тайне. Число, которое невозможно представить в виде двух целых чисел категорически не согласовывалось с мировоззрением греков. Это пример тесного переплетений тогдашних наук. Мы так же можем увидеть его и в неспособности пифагорейцев представить число без наделения его каким-либо качеством. Так, двойка у эллинов отождествлялась с мнением, четвёрка со справедливостью, так как являлась суммой перемноженных двоек.
В целом, даже не имея жизни в практических, прикладных науках, и распространяясь исключительно в высших кругах, математика играла важную роль в жизни Эллады. Платон, и вовсе, считал алгебры и геометрию, не просто посредниками между идеями и данными чувственного опыта – математический порядок мужчина воспринимал точным отражением самой сути реальности. математика геометрия пифагор дедуктивный
Однако греческий период подошёл к концу и около 300 лет до н. э. начался новый виток развития математики – Александрийский. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей – продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач. Эратосфен нашел простой метод точного вычисления длины окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Величайшим математиком древности был Архимед. Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа p находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед был величайшим математическим физиком древности. Его сочинение о плавающих телах заложило основы гидростатики.
К сожалению, период Александрии был недолог. После падения её в 33. Году от мечей римской империи, математика на некоторое время застыла в своём развитии. Римляне не внесли каких-либо серьёзных новшеств, используя достижения предыдущих эпох и вообще уделяя больше времени практическим проблемам. Не менее «застойными» были и средние века. Сказывалось не только отсутствие образованны людей – в средние века в Европе исследование природы любыми способами, включая математические, считалось предосудительным занятием, т.к. главной стала теологическая ветвь науки. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками. Центр научной мысли теперь переместился в Индию, а потом в арабские страны. В Индии зарождается алгебра, вводятся десятичная система счисления и нуль для обозначения отсутствия единиц данного разряда.
Новым подъёмом математики можно считать эпоху Возрождения, но лишь в некоторой мере. Началом же современной математики считают 16 век. Именно это время ознаменовалось важнейшими достижениями в алгебре и геометрии. Были введены десятичные дроби и, естественно, правила обращения с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1617 году логарифмов. Сформировавшаяся к тому времени сеть учебных заведений по всей Европе уже могла взрастить образованных эрудированных людей, которые, с помощью всё расширяющегося набора средств, продвигали вперёд алгебры и геометрию. Однако многое тогдашние вычисления и размышления современным математикам всё ещё могли бы показаться странными и глупыми. В частности, всё ещё не была решена судьба иррациональных чисел. В то время как Декарт и ряд других математиков свободно использовали их в алгебраических управлениях и вычислениях, знаменитый учёный Паскаль искренне верил, что всевозможные корни не имеют права на жизнь за пределами геометрических уравнений. Не утихали споры касательно правомерности использования отрицательных чисел. Если некоторые математики свободно с ними работали, другие наотрез отказывались подобные величины рассматривать. Недопустимыми большая часть мирового сообщества считала и уравнения с комплексными числами, как, например, 5 + корень из пяти. Уже упомянутый выше Декарт упорно именовал такие уравнения «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.
Подлинным переворотом, истинно поднявшим уровень математической науки, стало изобретение аналитической или координатной геометрии. Учёным, внедрившим её в научное сообщество, считается Декарт. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение – отрезок, имевший соответствующую длину. Аналитическая геометрия стала одним из важнейших открытий, так как полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, “пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству”.
Время с начала 16 века считается началом современной математики, так как именно тогда с помощью этой науки стали подходить ко всем вопросам естествознания. Физика, химия, инженерия, астрономия и многие другие науки начали активно использовать математические методы для своего развития. В наше время уже не одно утверждение, теория или гипотеза не могут считаться истинными, если не доказаны математически. Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало “высшей математики”. Практически любое физическое явление можно просто и понятно расписать математическими средствами, математическим анализом.
Когда-то И.Кант сказал: «Математика – наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах”. Математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Ему разрешены построения, противоречивые физически, главное, чтобы они не были противоречивы логически. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, «математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку». Раскованность и рискованность – преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, поскольку он мыслит математически, то есть, по выражению Г. Вейля, пытаясь дать “теоретическое изображение бытия на фоне возможного”. Но у учёного нет возможности для бескрайнего фантазирования. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это может знать только математика, которая владеет расчётами на основе количественного описания явлений. Другие науки не могут устанавливать пределы возможного – той количественной меры, которая определяет вариантность изменений. Например, биолог не знает пределы возможного для жизни и познаёт её в диапазоне наблюдаемого.
Т. к. абстракции математики отдалены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением “наводить мосты над пропастью”. Там, где конкретная наука останавливается, математика может переносить свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы.
Однако, как кажется мне, математическая наука абсолютно лишает мир многообразия. Как выразился русский математик И.Шафаревич она «убивает индивидуальность». Он пишет: «Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: “7 предметов”. Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков “предметы”». То есть счёт делает предметы равными.
Невозможно, конечно, отрицать, что современный мир нельзя представить без математики и её достижений, но лично я предпочитаю углубляться в другие школьные предметы.
Размещено на Allbest.ru
Введение
Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.
1. ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА
Классическая Греция. С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки классического периода (6-4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия.
Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.
Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6-3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч.
Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640-546 до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии, хотя это сомнительно.
Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок. 585-500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550-300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д.
Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. Например, пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (в современных обозначениях) n2 – квадратное число, то n2 + 2n +1 = (n + 1)2. Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным. Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496. Два числа пифагорейцы называли дружественными, если каждое из чисел равно сумме делителей другого; например, 220 и 284 – дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей).
Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.
Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Они имеют геометрическую интерпретацию, если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузы. Такая интерпретация, по-видимому, привела пифагорейцев к осознанию более общего факта, известного ныне под названием теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Рассматривая прямоугольный треугольник с единичными катетами, пифагорейцы обнаружили, что длина его гипотенузы равна , и это повергло их в смятение, ибо они тщетно пытались представить число в виде отношения двух целых чисел, что было крайне важно для их философии. Величины, непредставимые в виде отношения целых чисел, пифагорейцы назвали несоизмеримыми; современный термин – «иррациональные числа». Около 300 до н.э. Евклид доказал, что число несоизмеримо. Пифагорейцы имели дело с иррациональными числами, представляя все величины геометрическими образами. Если 1 и считать длинами некоторых отрезков, то различие между рациональными и иррациональными числами сглаживается. Произведение чисел и есть площадь прямоугольника со сторонами длиной и .Мы и сегодня иногда говорим о числе 25 как о квадрате 5, а о числе 27 – как о кубе 3.
Древние греки решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков; ныне этот метод называется геометрической алгеброй.
Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до1600. И даже в 18 в., когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно слову «математик».
Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем была систематизированно изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках.
Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427-347 до н.э.). Платон был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. (Аналитический метод начинается с утверждения, которое требуется доказать, и затем из него последовательно выводятся следствия до тех пор, пока не будет достигнут какой-нибудь известный факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений.
Величайшим из греческих математиков классического периода, уступавшим по значимости полученных результатов только Архимеду, был Евдокс (ок. 408-355 до н.э.). Именно он ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы. Располагая понятием величины, Евдокс логически строго обосновал пифагорейский метод обращения с иррациональными числами.
Работы Евдокса позволили установить дедуктивную структуру математики на основе явно формулируемых аксиом. Ему же принадлежит и первый шаг в создании математического анализа, поскольку именно он изобрел метод вычисления площадей и объемов, получивший название «метода исчерпывания». Этот метод состоит в построении вписанных и описанных плоских фигур или пространственных тел, которые заполняют («исчерпывают») площадь или объем той фигуры или того тела, которое является предметом исследования. Евдоксу же принадлежит и первая астрономическая теория, объясняющая наблюдаемое движение планет. Предложенная Евдоксом теория была чисто математической; она показывала, каким образом комбинации вращающихся сфер с различными радиусами и осями вращения могут объяснить кажущиеся нерегулярными движения Солнца, Луны и планет.
Около 300 до н.э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом, написавшим математический шедевр Начала. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст Начал Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в 19 в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, такие как неосознанное использование несформулированных в явном виде допущений.
Аполлоний (ок. 262-200 до н.э.) жил в александрийский период, но его основной труд выдержан в духе классических традиций. Предложенный им анализ конических сечений – окружности, эллипса, параболы и гиперболы – явился кульминацией развития греческой геометрии. Аполлоний также стал основателем количественной математической астрономии.
Александрийский период. В этот период, который начался около 300 до н.э., характер греческой математики изменился. Александрийская математика возникла в результате слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и Египта. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп – продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач.
Эратосфен (ок. 275-194 до н.э.) нашел простой метод точного вычисления длины окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Астроном Аристарх (ок. 310-230 до н.э.) написал сочинение О размерах и расстояниях Солнца и Луны, содержавшее одну из первых попыток определения этих размеров и расстояний; по своему характеру работа Аристарха была геометрической.
Величайшим математиком древности был Архимед (ок. 287-212 до н.э.). Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа ? находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед решил эту задачу, отыскав пересечение параболы и равнобочной гиперболы.
Архимед был величайшим математическим физиком древности. Для доказательства теорем механики он использовал геометрические соображения. Его сочинение О плавающих телах заложило основы гидростатики. Согласно легенде, Архимед открыл носящий его имя закон, согласно которому на тело, погруженное в воду, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости, во время купания, находясь в ванной, и не в силах совладать с охватившей его радостью открытия, выбежал обнаженный на улицу с криком: «Эврика!» («Открыл!»)
Во времена Архимеда уже не ограничивались геометрическими построениями, осуществимыми только с помощью циркуля и линейки. Архимед использовал в своих построениях спираль, а Диоклес (конец 2 в. до н.э.) решил проблему удвоения куба с помощью введенной им кривой, получившей название циссоиды.
В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо от геометрии. Греки классического периода имели логически обоснованную теорию целых чисел, однако александрийские греки, восприняв вавилонскую и египетскую арифметику и алгебру, во многом утратили уже наработанные представления о математической строгости. Живший между 100 до н.э. и 100 н.э. Герон Александрийский трансформировал значительную часть геометрической алгебры греков в откровенно нестрогие вычислительные процедуры. Однако, доказывая новые теоремы евклидовой геометрии, он по-прежнему руководствовался стандартами логической строгости классического периода.
Первой достаточно объемистой книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок. 100 н.э.). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью Начал Евклида в истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых, а также о пропорциях). Повторяя многие пифагорейские утверждения, Введение Никомаха вместе с тем шло дальше, так как Никомах видел и более общие отношения, хотя и приводил их без доказательства.
Знаменательной вехой в алгебре александрийских греков стали работы Диофанта (ок. 250). Одно из главных его достижений связано с введением в алгебру начал символики. В своих работах Диофант не предлагал общих методов, он имел дело с конкретными положительными рациональными числами, а не с их буквенными обозначениями. Он заложил основы т.н. диофантова анализа – исследования неопределенных уравнений.
Высшим достижением александрийских математиков стало создание количественной астрономии. Гиппарху (ок. 161-126 до н.э.) мы обязаны изобретением тригонометрии. Его метод был основан на теореме, утверждающей, что в подобных треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них равно отношению длин двух соответственных сторон другого. В частности, отношение длины катета, лежащего против острого угла А в прямоугольном треугольнике, к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех прямоугольных треугольников, имеющих один и тот же острый угол А. Это отношение известно как синус угла А. Отношения длин других сторон прямоугольного треугольника получили название косинуса и тангенса угла А. Гиппарх изобрел метод вычисления таких отношений и составил их таблицы. Располагая этими таблицами и легко измеримыми расстояниями на поверхности Земли, он смог вычислить длину ее большой окружности и расстояние до Луны. По его расчетам, радиус Луны составил одну треть земного радиуса; по современным данным отношение радиусов Луны и Земли составляет 27/1000. Гиппарх определил продолжительность солнечного года с ошибкой всего лишь в 61/2 минуты; считается, что именно он ввел широты и долготы.
Греческая тригонометрия и ее приложения в астрономии достигли пика своего развития в Альмагесте египтянина Клавдия Птолемея (умер в 168 н.э.). В Альмагесте была представлена теория движения небесных тел, господствовавшая вплоть до 16 в., когда ее сменила теория Коперника. Птолемей стремился построить самую простую математическую модель, сознавая, что его теория – всего лишь удобное математическое описание астрономических явлений, согласованное с наблюдениями. Теория Коперника одержала верх именно потому, что как модель она оказалась проще.
Упадок Греции. После завоевания Египта римлянами в 31 до н.э. великая греческая александрийская цивилизация пришла в упадок. Цицерон с гордостью утверждал, что в отличие от греков римляне не мечтатели, а потому применяют свои математические знания на практике, извлекая из них реальную пользу. Однако в развитие самой математики вклад римлян был незначителен. Римская система счисления основывалась на громоздких обозначениях чисел. Главной ее особенностью был аддитивный принцип. Даже вычитательный принцип, например, запись числа 9 в виде IX, вошел в широкое употребление только после изобретения наборных литер в 15 в. Римские обозначения чисел применялись в некоторых европейских школах примерно до 1600, а в бухгалтерии и столетием позже.
2. СРЕДНИЕ ВЕКА И ВОЗРОЖДЕНИЕ
Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставила заметного следа в математике, поскольку была слишком озабочена решением практических проблем. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400-1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками.
Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков.
Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.
Возрождение. Среди лучших геометров эпохи Возрождения были художники, развившие идею перспективы, которая требовала геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404-1472) ввел понятия проекции и сечения. Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателя к различным точкам изображаемой сцены образуют проекцию; сечение получается при прохождении плоскости через проекцию. Чтобы нарисованная картина выглядела реалистической, она должна была быть таким сечением. Понятия проекции и сечения порождали чисто математические вопросы. Например, какими общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы свойства двух различных сечений одной и той же проекции, образованных двумя различными плоскостями, пересекающими проекцию под различными углами? Из таких вопросов и возникла проективная геометрия. Ее основатель – Ж.Дезарг (1593-1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно.
3. НАЧАЛО СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж.Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось понимание логарифмов как показателей степени с любым положительным числом, отличным от единицы, в качестве основания. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б.Паскаль (1623-1662) и И.Барроу (1630-1677), учитель И.Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как , можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р.Декарт (1596-1650) и Дж.Валлис (1616-1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707-1783) с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.
Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские математики Н.Тарталья (1499-1577), С.Даль Ферро (1465-1526), Л.Феррари (1522-1565) и Д.Кардано (1501-1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, -, ?, , =, > и < . Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф.Виетом (1540-1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Кардано, Декарт и И.Ньютон (1643-1727) опубликовали (без доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 - 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 - 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 К.Фридрих Гаусс (1777-1855) доказал т.н. основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней. Основная задача алгебры - поиск общего решения алгебраических уравнений - продолжала занимать математиков и в начале 19 в. Когда говорят об общем решении уравнения второй степени ax2 + bx + c = 0, имеют в виду, что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней, производимых над коэффициентами a, b и с. Молодой норвежский математик Н.Абель (1802-1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций. Однако существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение. Накануне своей гибели на дуэли юный французский математик Э.Галуа (1811-1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах, т.е. корни каких уравнений можно выразить через их коэффициенты в помощью конечного числа алгебраических операций. В теории Галуа использовались подстановки или перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики. Развитие теории групп служит хорошим примером преемственности творческой работы в математике. Галуа построил свою теорию, опираясь на работу Абеля, Абель опирался на работу Ж.Лагранжа (1736-1813). В свою очередь многие выдающиеся математики, в том числе Гаусс и А.Лежандр (1752-1833) в своих работах неявно использовали понятие группы. Ньютон не был чрезмерно скромен, когда заявил: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов». Аналитическая геометрия. Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо П.Ферма (1601-1665) и Р.Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие - осознание всей мощи алгебраических методов - принадлежит Декарту. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение - отрезок, имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин. Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного алгебраического уравнения относительно х и у. Такой подход был важным шагом вперед, ибо он не только включил в число допустимых такие кривые, как конхоида и циссоида, но также существенно расширил область кривых. В результате в 17-18 вв. множество новых важных кривых, таких как циклоида и цепная линия, вошли в научный обиход. По-видимому, первым математиком, который воспользовался уравнениями для доказательства свойств конических сечений, был Дж.Валлис. К 1865 он алгебраическим путем получил все результаты, представленные в V книге Начал Евклида. Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, «пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству». Математический анализ. Основатели современной науки - Коперник, Кеплер, Галилей и Ньютон - подходили к исследованию природы как математики. Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как функция, или отношение между переменными, например d = kt2, где d - расстояние, пройденное свободно падающим телом, а t - число секунд, которое тело находится в свободном падении. Понятие функции сразу же стало центральным в определении скорости в данный момент времени и ускорения движущегося тела. Математическая трудность этой проблемы заключалась в том, что в любой момент тело проходит нулевое расстояние за нулевой промежуток времени. Поэтому определяя значение скорости в момент времени делением пути на время, мы придем к математически бессмысленному выражению 0/0. Задача определения и вычисления мгновенных скоростей изменения различных величин привлекала внимание почти всех математиков 17 в., включая Барроу, Ферма, Декарта и Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были объединены в систематический, универсально применимый формальный метод Ньютоном и Г.Лейбницем (1646-1716), создателями дифференциального исчисления. По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между ними велись горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате. Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал математический анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен идеями между математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы оказался прерванным с ущербом для английской стороны. Английские математики продолжали развивать идеи анализа в геометрическом направлении, в то время как математики континентальной Европы, в том числе И.Бернулли (1667-1748), Эйлер и Лагранж достигли несравненно бльших успехов, следуя алгебраическому, или аналитическому, подходу. Основой всего математического анализа является понятие предела. Скорость в момент времени определяется как предел, к которому стремится средняя скорость d/t, когда значение t все ближе подходит к нулю. Дифференциальное исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения скорости изменения функции f (x) при любом значении х. Эта скорость получила название производной. Из общности записи f (x) видно, что понятие производной применимо не только в задачах, связанных с необходимостью найти скорость или ускорение, но и по отношению к любой функциональной зависимости, например, к какому-нибудь соотношению из экономической теории. Одним из основных приложений дифференциального исчисления являются т.н. задачи на максимум и минимум; другой важный круг задач - нахождение касательной к данной кривой. Оказалось, что с помощью производной, специально изобретенной для работ с задачами движения, можно также находить площади и объемы, ограниченные соответственно кривыми и поверхностями. Методы евклидовой геометрии не обладали должной общностью и не позволяли получать требуемые количественные результаты. Усилиями математиков 17 в. были созданы многочисленные частные методы, позволявшие находить площади фигур, ограниченных кривыми того или иного вида, и в некоторых случаях была отмечена связь этих задач с задачами на нахождение скорости изменения функций. Но, как и в случае дифференциального исчисления, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления. Метод Ньютона - Лейбница начинается с замены кривой, ограничивающей площадь, которую требуется определить, приближающейся к ней последовательностью ломаных, аналогично тому, как это делалось в изобретенном греками методе исчерпывания. Точная площадь равна пределу суммы площадей n прямоугольников, когда n обращается в бесконечность. Ньютон показал, что этот предел можно найти, обращая процесс нахождения скорости изменения функции. Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. Утверждение о том, что суммирование можно осуществить, обращая дифференцирование, называется основной теоремой математического анализа. Подобно тому, как дифференцирование применимо к гораздо более широкому классу задач, чем поиск скоростей и ускорений, интегрирование применимо к любой задаче, связанной с суммированием, например, к физическим задачам на сложение сил. 4. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало «высшей математики». Методы математического анализа, в отличие от понятия предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными. Многие годы математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное определение понятию предела. И все же, несмотря на многочисленные сомнения в обоснованности математического анализа, он находил все более широкое применение. Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа, который со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в.
Неевклидова геометрия. К 1800 математика покоилась на двух «китах» – на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И.Лобачевскому (1792-1856) и Я.Бойяи (1802-1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б.Римана (1826-1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.
О физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял. Создание А.Эйнштейном (1879-1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать как свод непререкаемых истин. В лучшем случае математика может гарантировать достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик в отдельности был теперь волен вводить свои собственные новые понятия и устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века по существу явилось следствием этой новой свободы.
Математическая строгость. Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не выполняется свойство коммутативности) заставили математиков осознать, что то, что они принимали за абстрактные и логически непротиворечивые утверждения, в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе.
Создание неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием существования в евклидовой геометрии логических пробелов. Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и несколько ошибочных доказательств.
Создание новых алгебр, начавшееся с квартернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т.е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У.Гамильтоном (1805-1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности. Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы. Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации практической поль
История математики
в России
Введение
Наша страна имеет богатую историю. В большей степени это касается социальных, общественно политических событий, которые происходили и происходят в России. Иногда несправедливо принижается её роль в развитии научной мысли. На первый, поверхностный взгляд может показаться, что все в науке сделано древними египтянами, греками, потом учеными Западной Европы. Действительно, Россия стала цивилизованной страной, когда элементарная математика уже была создана, поэтому в школьных учебниках мы встречаем теорему Пифагора, формулу Герона, доказательство Гаусса, но нет элементарных вещей созданных Ивановым, Петровым и Сидоровым. Для того чтобы добраться до дифференциальных уравнений математической физики, теорем о распределении простых чисел, сложных законов теории вероятностей, неевклидовой геометрии и услышать фамилии Чебышева, Остроградского, Ковалевской, Лобачевского и десятков других наших соотечественников нужно подняться на вершины высшей математики. Естественно, это удается не каждому, поэтому фамилии наших математиков известны специалистам, а не широкому кругу читателей.
Наша страна была первой в космосе, а за этой таинственной работой тысяч людей тоже скрыты сложные дифференциальные уравнения и математические расчеты, о которых мы не узнаем, да и не сможем понять. Отечественная космонавтика будет посложнее и гораздо полезнее в практическом плане, чем древнеегипетские пирамиды.
В работе хотелось бы восстановить справедливость и воздать должное нашим ученым. Кроме того, придется отдельно остановиться на исторических предпосылках оказавших сильное влияние на развитие научной мысли в России. Из всего обилия материалов отберем наиболее интересное, отличительное, подчеркивая эту уникальность при изложении.
Исторические предпосылки
Нет! таких не подмять не рассеять.
Бесшабашность им богом дана.
Ты, Рассея моя… Рассея…
Азиатская сторона!
Сергей Есенин
Естественный процесс заселения планеты человеком разумным начался в местах с теплым климатом по берегам крупных рек. Поэтому изначально впереди были Египет, Вавилон, страны Средиземноморья. В таких климатических условиях легче было выжить, меньше проблем с жилищами, с одеждой и даже с едой. Освоение северных земель требовало особых усилий не только физических, но и умственных. Только направлять эти усилия приходилось исключительно на одну тему – как выжить в условиях сурового климата. Почему не строили славяне громадных дворцов из камня, а долгое время обходились маленькими деревянными избенками? Потому что перед ними стоял вопрос, как натопить помещение в течение суровой зимы, чтобы хватило дров до тепла. Каменный дворец не нагреешь в наши морозы. Даже в настоящее время разница в климатических условиях приводит к тому, что мы не сможем жить как Соединенные штаты Америки, самый северный штат которой расположен на широте нашего Крымского полуострова. В Волгоградской области, относящейся к югу России, морозы зимой бывают за двадцать градусов ниже нуля. Для того чтобы жить в таких условиях требуются здания повышенной теплоизоляции, сложные системы отопления, теплая зимняя одежда, дополнительные калории в питании. А все это дополнительные деньги, которые мы вынуждены тратить, только на выживание. Плюс тридцать градусов летом, минус двадцать или больше зимой, постоянные перепады температуры, от которых портятся дороги, крыши домов. Страна задыхается от коммунальных проблем, о которых сытая Америка и такая же Западная Европа просто не знают. Хотя в этом есть один большой плюс: постоянное преодоление трудностей выковало особый русский несгибаемый характер. Наши морозы и бездорожье пробовала армия Наполеона, а через сотню с лишним лет технически оснащенные фашистские полчища, и они их не выдержали. Вспомните одинаково комичные изображения «драпающих» из России французов и немцев, укутанных во что попало. Для нас это не турне, а повседневная жизнь. Таким образом, суровые климатические условия это одна из причин, почему мы не стояли у истоков цивилизации.
Когда цивилизация стала проникать в Западную Европу, был момент, когда все там могло надолго приостановится – орды диких кочевников монголов поскакали в Европу. Дальше России они не прошли, а наша страна на триста лет была повергнута в дикость, кровь, пожары и прочие несчастья. По существу Россия защитила Западную Европу, закрыла ее собой. В течение следующего тысячелетия, вместо благодарности за спасение от нашествия степных дикарей, на Русь шли шведы и немцы, французы и турки, финны и японцы, то порознь, то объединяясь в различные союзы. «Ты помнишь, дядя, ведь недаром, Москва, спаленная пожаром, французу отдана…» – писал Лермонтов. Сколько набегов выдержала земля русская, сколько раз отстраивались заново города и деревни. У стран Западной Европы даже в войне иное отношение друг к другу, чем к России. Во второй мировой войне немцы оккупировали и Францию, но она осталась целехонькой, а половину нашей страны они спалили и разрушили. Русские в Отечественной войне 1812 года занимали Берлин, Гамбург, пришли в Париж, но не сожгли эти города, сильный не добивает слабого. Правда, в следующей Отечественной войне Берлину хорошо досталось, но здесь сами виноваты, нужно было сразу сдаваться. Огромное количество оборонительных войн, затем восстановлений народного хозяйства – вот вторая причина, постоянно отвлекавшая Россию от научного творчества.
«Призрак коммунизма» бродил по Европе во времена Карла Маркса, а полигоном для социальных экспериментов стала Россия. Западная Европа только смотрела на наши ошибки и на них училась. В результате они поступательно жили, а у нас постоянно что-то ломали (как Ленин) и строили заново (как Сталин), потом «перестраивали» (как Горбачев) и снова ломали (как Ельцин). Невольно возникает мысль об иностранных агентах влияния, ведь кому-то же это было нужно, только не нашему народу. Россия, чуть набравшись сил, бросалась помогать страждущим всего мира: мирить горячие кавказские народы, остепенять турецких янычар. Кому только мы не помогали в советские времена: Куба, Ангола, Египет, Корея, Камбоджа, Вьетнам и десятки других стран – туда шли деньги, грузы, лучшие люди. Потом был Афганистан, теперь Чечня и мировой терроризм. Какая еще страна столько вытерпела за свою историю? Вот вам и третий фактор нашей великой занятости проблемами далекими от математики.
В данный момент Россия остается единственным сдерживающим фактором между миром ислама и Западными странами. А там как всегда сыто живут и не понимают, что им грозит. Или понимают, но по привычке надеются, что на крики «Аллах Акбар!», снова послышится русское «Ура!» и Россия снова спасет мир, на этот раз от исламских фундаменталистов.
Наша страна ведет себя как старший брат в большой семье, который после восьмого класса идет работать, чтобы младшим братьям и сестрам дать возможность получить высшее образование. Только нам достались неблагодарные родственники, они стараются попрекнуть брата его малограмотностью и подчеркнуть свое развитие, ни на минуту не задумываясь, какой ценой это достигнуто.
На всякий случай, защитив свою Родину от нападок, можно переходить к математике. В принципе такая защита и не требовалась, потому что достижения России в математике огромны, и это вступление только подчеркивает, что достижения получены все-таки несмотря на множество имевших место негативных факторов.
Становление математики в России
Везде исследуйте всечасно,
Что есть велико и прекрасно,
Чего еще не ведал свет;
Трудами веки удивите…
М. В. Ломоносов
Русский счет. Предки русского народа – славяне – с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Х веке нашей эры у славян появилась письменность. С этого времени начинается «писаная» история Древней Руси.
У славян, как и у всех других народов, первым учителем математики была сама жизнь, практика. Постепенно рождались и накапливались навыки счета, правила измерения: ведь без этого нельзя было бы ни торговать, ни даже обмениваться продуктами. В летописях сохранились сведения о школах, которые учреждались повелением князей Владимира Святославовича (-1015), Ярослава Мудрого (978—1054). В первом тысячелетии у славян появилась денежная единица — рубль, название которой сохранилось до наших дней. Слово «рубль» происходит от глагола рубить. Первые рубли, по всей вероятности, были просто кусочками металла, которые отрубали от полосы серебра или меди. Для того чтобы разрубить металлическую полосу на равные части нужно было знать простейшие дроби: 1/2, 1/3, 1/4, уметь складывать и вычитать числа. При измерении полей славяне употребляли и более сложные дроби: 1/6, 1/8, и даже 1/32. В раскопках славянских селений ученые находили изображения циркуля. Значит, древним славянам были известны некоторые свойства окружности. Основу своего алфавита славяне вместе с христианской религией позаимствовали от средневековых греков – византийцев. Способ записи цифр буквами со специальными значками – «титлами» – над ними они тоже взяли от греков. В хозяйственной жизни далекого прошлого люди обходились сравнительно небольшими числами – так называемым «малым счетом». Он доходил до числа 10 000, которое в самых старых памятниках называется «тьма», то есть темное число, которое нельзя ясно представить. В дальнейшем граница малого счета была отодвинута до 108, до числа «тьма тём». Старинная рукопись по этому случаю заявляет, что «больше сего числа несть человеческому разуму разумети».
Но наряду с этим «малым счетом», «коли прилучался великий счет и перечень», употреблялась вторая система, называвшаяся «великим числом или счетом» или «числом великим словенским». В нем употреблялись более высокие разряды: тьма — 106, легеон — 1012, леодр — 1024, ворон — 1048, иногда еще колода — десять воронов — 1049 (хотя нужно было за колоду принять, следуя системе, 1096).
Для обозначения этих больших чисел наши предки употребляли оригинальный способ, не встречающийся ни у одного из известных нам народов: число единиц любого из перечисленных высших разрядов обозначалось той же буквой, что и простые единицы, но окруженной для каждого числа соответственным бордюром. Величайшие греческие математики не додумались до этого способа записи чисел. Таких больших чисел не требовала в то время никакая практическая задача. Архимед, величайший греческий математик, сосчитал, что число песчинок во всем мировом пространстве, как это понимали в то время, не превышает 1063. Славянский «числолюбец» сказал бы, что это число песчинок не больше тысячи легеонов воронов: 1063=103?1012?1048. Кстати, в первом печатном русском учебнике математики, в «Арифметике» Магницкого Л. Ф. (1703), даются уже принятые сейчас термины для больших чисел (миллион, биллион, триллион, квадриллион), дойдя до 1024, автор заявляет, что больших чисел не потребуется.
Русская математическая терминология не является чем-то вечным, застывшим. Лет 200-300 назад она весьма сильно отличалась от современной. Русская терминология обогащалась как за счет создания новых названий математических понятий с русскими корнями, так и за счет заимствования некоторых иностранных терминов. Возможно, вы не замечали одной странности в образовании названий чисел: одиннадцать=один-на-дцать=один-на-десять, двенадцать = два-на-десять и так далее, двадцать = два-десять, тридцать = три-десять, пятьдесят, шестьдесят и так далее вообще понятно. Но в отличие от общего правила числа 40 и 90 получили названия «сорок» и «девяносто», а не «четырьдцать» или «четырьдесят» и «девятьдесят». Как возникли эти названия?
Известно, что в древние времена в качестве денег употреблялись меха – позднее кожаные деньги (кусочки кожи с клеймами). Указ Петра I еще в 1700 году утверждает, что «в Калуге и в иных городах вместо серебряных денежек торгуют кожаными». По «Толковому словарю живого великорусского языка» Владимира Даля, 40 собольих мехов составляли полную шубу и вкладывались в «чехол или в сорочку». Отсюда название числа «сорок». Аналогичное образование имен числительных наблюдается и в других языках. В Дании, например, продают рыбу партиями в 80 голов, надетыми на жердь. Название «жердь» стало у них и названием числа 80.
Бок
Сторона
Дефиниция
Определение
Дистанция
Расстояние
Колесо
Круг
Корпуленция
Объем
Кружало
Циркуль
Мимоплоское
Параллелепипед
Мыслие
Теорема
Нетощее
Тело
Остие
Центр круга
План
Плоскость
Перечень
Произведение сомножителей
Радикс
Корень
Солид
Тело
Суперфиция
Площадь
Цифра
Нуль
Штирометрия
Стереометрия
Числительное «девяносто» производят от слов «девять до ста»: между числами 90 и 100 в натуральном ряду стоят девять чисел. Другого, лучшего объяснения ученые пока не дают.
Приведем еще несколько примеров терминологии из различных старинных русских книг по математике. Для удобства сведем их в небольшую таблицу, в одном столбце которое старое русское название, а рядом современное общепринятое его толкование.
Русские счёты. Этот простой и полезный инструмент для арифметических вычислений просуществовал несколько столетий и утратил свое значение только лет двадцать назад. До тех пор они были такой же необходимой «офисной принадлежностью», как сейчас компьютер. Счеты лежали под рукой у каждого продавца в магазине, у счетоводов в различных конторах. В умелых руках этот нехитрый прибор мог соперничать с дорогостоящими вычислительными машинами. Я. И. Перельман в своей книге «Занимательная арифметика» описывает интересную дореволюционную историю. Перед представителями иностранной фирмы, производящей счетные машины устроили соревнование между двумя счетчиками, из которых один работал на дорогой заграничной вычислительной машине, другой же пользовался обыкновенными счетами, но был мастером своего дела. И последний взял верх в быстроте и точности вычислений, так что иностранцы вынуждены были сложить свою машину в чемодан, на надеясь продать у нас ни одного экземпляра. Как сказали бы в современной рекламе: «Зачем платить больше?» Интересный пример вычисления на счетах есть в рассказе А.П. Чехова «Репетитор».
В Западной Европе практически не пользовались счетами, они встречались там только как наглядное пособие в школах. Прообразом современных счетов явился так называемый дощаный счёт, возникший впервые в России в 16 веке. Большое влияние на создание дощаного счёта оказала система налогового обложения в России 15—17 вв. (сошное письмо), при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части. Дощаный счёт представлял собой два складывающихся ящика.
Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости. В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость, расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и т. д.). Дроби суммировались без приведения к общему знаменателю, например «четь да полтрети, да полполчети»:
.
Иногда операции с дробями производились как с целыми при помощи приравнивания целого (сохи) к определённой сумме денег. Например, при равенстве соха = 48 денежным единицам приведённая выше дробь составит 12 + 8 + 3 = 23 денежные единицы. На рисунке – слева отложена сумма дробей , а справа 30 рублей 18 алтын деньги.
С переходом к арабским цифрам и отменой сошного письма счеты утратили в конце 17 века ряды для дробей, а в начале 18 века лишились второго ящика и приобрели свой современный вид (сохранившийся в счетах один неполный ряд, обычно из четырёх костей, отделяет два ряда для десятых и сотых единицы, а также иногда служит для счёта четвертей и половинок).
Русские математические книги.
Монах Кирик написал в 1134 году книгу «Кирика – диакона Новгородского Антониева монастыря учение, им же ведати человеку числа всех лет». В этой книге Кирик подсчитывает, сколько месяцев, сколько дней, сколько часов он прожил, вычисляет в месяцах, неделях и в днях время, прошедшее до 1134 года от «сотворения мира», выполняет разные вычисления дней церковных праздников на будущее время. При счислении времени Кирик употребляет «дробные часы», подразумевая под ними пятые, двадцать пятые, сто двадцать пятые (и так далее) доли часа.
Далее следует период татаро-монгольского ига, после свержения которого оказалось, что Россия значительно отстала от других европейских стран. Только в XVI веке, при Иване Грозном, на Руси появляются первые рукописные учебники по математике, а немного позже – печатные книги о применении математики для различных практических нужд. Исконно русским руководством, излагавшим приемы измерения площадей, является «Книга сошного письма», самый древний экземпляр которой относится к 1629 году. Имеются ведения, что оригинал был составлен еще раньше, при Иване Грозном в 1556 году.
При вычислении площадей фигур рекомендуется в этой книге разбивать их на квадраты, прямоугольники, треугольники, трапеции. Площади квадрата и прямоугольника вычислялись по применяемым сейчас правилам. Площадь же треугольника находилась как половина произведения основания на боковую сторону. Последнее правило, буквально понятое, неверно, так как оно справедливо лишь для прямоугольного треугольника. Возможно, что русская землемерная практика имела дело только с прямоугольными или почти прямоугольными треугольниками, и в таком случае, мы не имеем основания делать упрек нашим предкам в незнании правил начальной геометрии. В те отдаленные времена земля не являлась предметом купли-продажи, и точность результата измерения играла не значительную роль. Оказывается, что в южнорусских губерниях, где свободной земли было много и она поэтому не ценилась, такие приемы оценки площадей применялись еще в ХIХ веке.
При Иване Грозном было составлено и первое русское руководство по землемерию – книга «… глубокомудрая, дающая легкий способ измерять места самые недоступные, плоскости, дебри». А в середине XVI века была составлена первая общая карта Европейской России, которая вместе с «Чертежами Сибирских земель» 1667 года считается самым замечательным памятником русской картографии. В одной из рукописей XVI века впервые упоминается «премудрый Клидас», то есть основоположник нашей современной геометрии – Евклид.
Ранние русские рукописи содержат и теорему Пифагора. Но в них нет явного указания о том, что теорема имеет место только для прямоугольного треугольника. Возможно, что ею пользовались для приближенного нахождения расстояния и в том случае, когда треугольник почти прямоугольный. В 1625 году была переведена с английского языка книга по геометрии, где дается учение о круге. Эта рукопись представляет, по-видимому, обработку «Начал» Евклида, то есть первую часть нашего обычного школьного учебника геометрии.
В 1703 году Леонтий Филиппович Магницкий опубликовал громадную книгу под длинным названием: «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и во едино собрана и на две книги разделена… Сочинися сия книга через труды Леонтия Магницкого».
Книга эта содержит начала математических знаний того времени: арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. В конце книги имеется снабженный большим числом таблиц отдел, посвященный морскому делу. Большую часть книги, как указывает и ее заглавие, автор посвящает арифметике. Магницкий высоко ценит теорию. Он делит свою «Арифметику» на две книги: первую называет «арифметика-политика», вторую – «арифметика-логистика». Первая назначается для тех, кто желает только научиться решать практические вопросы: «исчисляти всякое исчисление в продаже и куплях». Эта часть изложена без доказательств, рассказом и показом – решением примеров.
Вторая часть – «арифметика-логистика» – решает общие вопросы, «токмо уму нашему подлежащие». Магницкий заявляет, что их решать при помощи простых средств «арифметики-политики» нельзя. Без обоснования правил все последующее построение непрочно и бесполезно и так поступать будет неуместно.
Такую же разъяснительную работу проводит и первый печатный учебник геометрии – «Приемы циркуля и линейки» (1709): «Кто хвалит только теорию, укладывает лишь хорошее основание, на котором он ничего не строит; это подобно пушкам, которые не вывозятся на поле сражения, или кораблям, гниющим в гавани. Такой теоретик подобен ремесленнику, знающему свое дело, но знаний своих не применяющему, инженеру, который строит крепости только на бумаге, корабельщику, ездящему в своем доме по карте в Америку. Не лучше и тот, что одну только практику признает: это человек, строящий крепость на песке, подводящий подкоп под Дунай-реку и думающий на кое-как сколоченном плоту совершить путешествие в Индию».
Книга Евклида впервые в печати на русском языке появилась в 1739 году под заглавием: «Евклидовы элементы в осьмь книг через профессора математики Андрея Фархварсона сокращенные. С латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенные. В Санкт-Петербурге, 1739». Продолжением этой книги являлись вышедшие в 1745 году «Архимедовы теоремы» в переводе того же Ивана Сатарова. Через эти книги русскому читателю стало доступным все существенное из классического наследия по элементарной геометрии.
Российские математики.
Дерзайте ныне ободренны
Раченьем вашим показать,
Что может собственных Платонов
И быстрых разумом Невтонов
Российская земля рождать.
М.В. Ломоносов
Одно только перечисление российских математиков займет не одну страницу, но их имена не известны широким кругам нашего общества, потому что они занимались очень сложными математическими вопросами. Откройте Энциклопедический словарь на одну букву «А» и прочитайте, к примеру, всех академиков-математиков по фамилии Александров:
Александров Александр Данилович (1912-99), российский математик, академик РАН (1991; академик АН СССР 1964). В 1952-64 ректор ЛГУ. Основные труды по геометрии и ее приложениям, основаниям теории относительности и философии естествознания. Государственная премия СССР (1942).
Александров Анатолий Петрович (1903-94), российский ученый, академик РАН (1991; академик АН СССР с 1953), президент АН СССР (1975-86), трижды Герой Социалистического Труда (1954, 1960, 1973). Ленинская премия (1959), Государственная премия СССР (1942, 1949, 1951, 1953). Золотая медаль им. И. В. Курчатова (1968), им. М. В. Ломоносова (1978), им С. И. Вавилова (1978) и др.
Александров Павел Сергеевич (1896-1982), российский математик, основатель научной школы по топологии, академик АН СССР (1953), Герой Социалистического Труда (1969). Труды по топологии, теории множеств, теории функций. Государственная премия СССР (1943).
Только ради интереса посмотрим в Энциклопедическом словаре исконно русские фамилии Иванов, Петров и Сидоров.
Иванов Валентин Константинович (1908-92), российский математик, член-корреспондент РАН (1991; член-корреспондент АН СССР с 1970). Труды по теории функций, некорректным задачам математической физики. Ленинская премия (1966).
Иванов Иван Иванович (1862-1939), математик, член-корреспондент АН СССР (1925; член-корреспондент РАН с 1924). Труды по теории чисел.
Петров Александр Александрович (р. 1934), российский ученый в области прикладной математики и информатики, академик РАН (1997; член-корреспондент РАН с 1991). Труды в области математического моделирования сложных систем и методам оценки потенциальных возможностей экономики на основе множества критериев. Государственная премия СССР (1980).
Петров Борис Николаевич (1913-80), российский ученый, академик (1960), вице-президент (с 1979) АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Труды по теории автоматического регулирования, системам автоматического управления движущимися объектами, самонастраивающимся системам. Ленинская премия (1966), Государственная премия СССР (1972).
Петров Вячеслав Вячеславович (р. 1912), российский ученый, член-корреспондент РАН (1991; член-корреспондент АН СССР с 1972). Основные труды по технической кибернетике, теории автоматического регулирования. Государственная премия СССР (1972).
Сидоров Анатолий Федорович (1933-99), российский математик, академик РАН (1991). Основные труды по аналитичеким методам гидроаэромеханики, численным методам решения задач механики сплошной среды.
И это только мизерная часть огромного отряда высокообразованных российских ученых в области математики.
Разве могла бы наша страна первенствовать в космонавтике, если бы не имела крупнейших ученых мирового уровня С. П. Королева, М. В. Келдыша, А. Н. Колмогорова, А. П. Александрова. Только понять их вклад в науку на уровне теорем, уранений и неравенств сможет не всякий учитель математики, не говоря уже о простых обывателях. Поэтому дальнейший выбор из десятков великих людей тех, о ком здесь написать будет субъективен из-за ограниченных рамок реферата. Только две личности, с русским несгибаемым характером борца.
Россия дала миру не только первую женщину-космонавта, но и первую женщину-математика. Её биография позволяет судить насколько сложно было этого добиться несмотря на природные способности.
Ковалевская Софья Васильевна [3(15).1.1850, Москва, — 29.1(10.2).1891, Стокгольм], русский математик, а также писатель и публицист, первая женщина – член-корреспондент Петербургской АН (1889). Ковалевская получила всестороннее образование и рано обнаружила незаурядные математические способности. С 1866 в Петербурге она брала уроки математики у известного педагога А. Н. Страннолюбского. Доступ женщинам в Петербургский университет в то время был закрыт. В 1868 Ковалевская, чтобы иметь возможность заняться наукой, вступила в фиктивный брак и в 1869 уехала в Гейдельберг, где изучала математику. В 1870 переехала в Берлин, где 4 года работала у Карла Вейерштрасса, согласившегося давать ей частные уроки (в Берлинский университет женщины тоже не допускались). В 1874 на основании трёх работ Ковалевской, Гёттингенский университет заочно присудил ей степень доктора философии. В 1874 вернулась в Россию, однако она не смогла получить место в Петербургском университете. Поэтому почти на 6 лет отошла от научной работы, занялась литературно-публицистической деятельностью, сотрудничая в газетах. В 1880 переехала в Москву, но в университете ей не разрешили сдавать магистерские экзамены. В 1881 снова уехала в Берлин, а затем в Париж, пытаясь получить место профессора на Высших женских курсах во Франции. В ноябре 1883 выехала в Швецию, получив приглашение занять должность приват-доцента в Стокгольмском университете. В 1884 была назначена профессором Стокгольмского университета. В 1888 ею написана работа «Задача о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки»; за эту работу Парижская академия наук присудила С. В. Ковалевской премию. За вторую работу о вращении твёрдого тела (в следующем году) была присуждена премия Шведской академии наук. Ковалевская – автор повести «Нигилистка» (1884), драмы «Борьба за счастье» (1887), семейной хроники «Воспоминания детства» (1890).
Каким незаурядным умом и научной смелостью нужно обладать, чтобы выдвинуть положение спорящее с самим Евклидом. Так и хочется воскликнуть: «Знай наших!»
Лобачевский Николай Иванович [1792, Нижний Новгород – 1856, Казань], русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист, деятель университетского образования и народного просвещения. Родился в семье мелкого чиновника. Почти всю жизнь провёл в Казани: учился в гимназии (1802-07), затем в Казанском университете (1807—11). Рано обнаружил выдающиеся способности, по окончании университета получил степень магистра (1811) и был оставлен при университете; в 1814 стал адъюнктом, в 1816 – экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Преподавал математику, физику и астрономию, закупил в столице оборудование для физического кабинета и книги для библиотеки, а затем возглавлял её 10 лет (с 1825); заведовал обсерваторией; избирался деканом физико-математического факультета (1820-22, 1823-25). В эти годы Лобачевский отыскивал пути строгого построения начал геометрии. Сохранились студенческие записи его лекций (от 1817), где им делалась попытка доказать постулат параллельности Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» на 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы. Наконец, преодолев тысячелетние традиции, он приходит к созданию новой геометрии – так называемой геометрии Лобачевского. 7 февраля 1826 он представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» (1829-30), явившийся первой в мировой литературе публикацией по неевклидовой геометрии. Исходя из поисков безусловной строгости и ясности в началах геометрии, он рассматривает аксиому параллельности Евклида как произвольное ограничение, как требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. Он заменяет эту аксиому требованием более широким и общим, именно: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную (по существу не менее чем одна, если учесть предельный случай).
Разработанная Лобачевским новая геометрия существенно отличается от евклидовой геометрии, но при больших значениях входящей в формулы некоторой постоянной R (радиус кривизны пространства) отклонение становится незначительным.
В соответствии со своим материалистическим подходом к изучению природы, Лобачевский полагал, что только научный опыт может выявить, какая из геометрий осуществляется в физическом пространстве. Используя новейшие астрономические данные того времени, он пришёл к выводу, что число R очень велико и отклонения от евклидовой геометрии если и существуют, то заключены в пределах ошибок измерений. Таким образом, была обоснована практическая пригодность евклидовой геометрии. Кроме того, Лобачевский показал, как его геометрию можно применять в других разделах математики, а именно в математическом анализе при вычислении определённых интегралов.
Лобачевского избрали ректором Казанского университета (1827) и за 19 лет руководства университетом он добился его подлинного расцвета. В бытность Л. ректором было осуществлено в 1832—40 строительство целого комплекса вспомогательных зданий: библиотека, астрономическая обсерватория, физический кабинет и химическая лаборатория, анатомический театр, клиника и др. Он положил начало «Учёным запискам Казанского университета» (1834) и развил издательскую деятельность. Уровень научно-учебной работы повысился, контингент студентов возрос, университет стал важным центром востоковедения. Но ректорство не отрывало Лобачевского от преподавания: в разные годы он читал лекции по аналитической механике, гидромеханике, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям, математической физике, вариационному исчислению, а в 1838—40 — научно-популярные лекции по физике для населения. Студенты высоко ценили лекции Николая Ивановича.
Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 советом университета в Академию наук, получил отрицательную оценку. Лобачевский получил ряд ценных результатов и в других разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений, в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.
Заключение
Если крикнет рать святая:
«Кинь ты Русь, живи в раю!»
Я скажу: «Не надо рая,
Дайте Родину мою».
Сергей Есенин
Чувство патриотизма в повседневной жизни таится где-то в глубине души, и мы зачастую критикуем правительство и страну, возмущаемся творимыми над нами экспериментами, слишком превозносим достижения развитых капиталистических стран. Но стоит только возникнуть необходимости встать на защиту своей Родины, пусть даже посредством написания простого реферата, как мобилизуются внутренние силы, о которых сам и не ведаешь, находятся нужные аргументы и правильные слова. Мне кажется, это заметно со стороны, а значит – тема реферата все-таки раскрыта.
Хотя раскрыта не полностью, потому что из-за обилия материала, при ограниченном объеме работы, трудно сделать правильный отбор, выбираешь главное на свое усмотрение, то есть субъективно. Хочется использовать заключение, чтобы хоть вскользь упомянуть еще об одном историческом факте. Представьте себе, но в бытность Петра Великого, утечка мозгов происходила в другом направлении: из Западной Европы в Россию. В состав Российской Академии наук вошли люди, которые были бы украшением любой из европейских академий, например, один из великих творцов современного анализа Леонард Эйлер. Леонарда Эйлера считают самым плодовитым математиком восемнадцатого столетия, если только не всех времен. Только при жизни было опубликовано около 550 его книг и статей. В 1909 Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера, которое было завершено только в 1975; оно состоит из 72 томов.
Список литературы
Большая Советская Энциклопедия (электронный вариант).
Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989.
Кольман Э., История математики в древности, М., 1961.
Мир чисел. Занимательные рассказы о математике: Сост.: Ю.И. Смирнов. СПб.: ИКФ «МиМ-Экспресс», 1995.
Перельман Я. И. Занимательная арифметика. – М.: АО «Столетие», 1994.
Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, перевод с немецкого, 4 изд., М.: Наука, 1984.
Энциклопедический словарь юного математика. М.: Просвещение, 1985.
Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.
Академик А.Н. Колмогоров выделяет четыре периода развития математики: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.
Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI — V вв. до нашей эры. Это было началом периода элементарной математики.
В течение этого периода исследования в математике имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже происходит качественное совершенствование математики как науки. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел, как раздел математики. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии — геометрии Евклида — на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения теории математики.
В XVII в. запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих изучать движение с помощью математики, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.
На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем в математике такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятие величины и числа. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа — методу координат Р. Декарта. С другой стороны, открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в. к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и в следствие внутренней потребности самой математики. Замечательным примером такой теории является “воображаемая” геометрия Н. Лобачевского. Развитие подобного рода исследований в математике XIX — XX вв. позволяет отнести ее к периоду современной математики.
Потребности развития самой математики, “математизация” различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения аксиоматического подхода в математике является евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуждения. В силу объективной необходимости, указывает чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцев , логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по себе играет большую роль в математических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.
В математике изучаются математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений, так и объекты (структуры) для изучения этих моделей. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
В математике используются два вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот — на основании частных случаев об общих суждениях. Принцип математической индукции гласит, что утверждение А(п), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и для любого натурального числа п из предположения, что верно А(п), доказано, что верно также А(п+1).
При формулировке утверждений в математике часто используются необходимые и достаточные условия. Пусть рассматривается какое-либо утверждение (положение) В в связи с некоторым утверждением (условием) А. Если из В следует А, т. е. В=> А, то А называется необходимым условием для В, если же из А следует В, т. е. А=>В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 —необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 => делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 — достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 => делимость на 6). Если одновременно верны утверждения В=>А и А=>В, т. е. A B, то А называется необходимым и достаточным условием для В. Например, для делимости числа на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и 3, ибо делимость на 2 и 3 делимости на 6.
Таким образом, необходимые условия — те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия — те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно. Выражение “необходимо и достаточно”, можно заменить равносильными выражениями “тогда и только тогда”, “если и только если”, “в том и только в том случае”. Необходимые и достаточные условия обладают в математике большой познавательной ценностью.
Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.
Основы высшей математики были разработаны в трудах выдающихся ученых: математика и механика Древней Греции Ар химеда (287—212 гг. до нашей эры); французского философа и математика Р. Декарта (1596—1650); английского физика и математика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа, математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математика, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французского математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); немецкого математика К. Гаусса (1777—1855); французского математика О. Коши (1789—1857) и многих других крупнейших ученых.
Большой вклад в развитие математики внесли выдающиеся русские математики — Н.И. Лобачевский (1792—1856), М.В. Остроградский (1801—1861), П.Л. Чебышев (1821—1894), А.А. Марков (1856-1922), А.М. Ляпунов (1857-1918) и другие.
Современная российская математическая школа занимает передовое место в мировой математической науке благодаря трудам знаменитых математиков: А.Д. Александрова, П.С. Александрова, В.И. Арнольда, С.Н. Бернштейна, Н.Н. Боголюбова, И.Н. Векуа, И.М. Виноградова, В.М. Глушкова, Л.В. Канторовича, М.В. Келдыша, А.Н. Колмогорова, М.А. Лаврентьева, Ю.В. Линника, А.И. Мальцева, П.С. Новикова, Ю.В. Прохорова, В.И. Смирнова, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова и многих других.