Сочинение на тему действительные числа

12 вариантов

1. Содержание
   Иррациональныеуравнения
   Числоваяфункция. Способы задания функции
   Основныесвойства функции
   Графикифункций. Простейшие преобразования графиков функцией
   Обратнаяфункция
   Степеннаяфункции, её свойства и графики
   Показательнаяфункция, её свойства и графики
   Показательныенеравенства
   Логарифмыи их свойства
   Логарифмическиеуравнения
   Тригонометрическиефункции числового аргумента
   Функцияy sinx ее свойства и график
   Обратныетригонометрические функции, их свойства и графики
   Частныеслучаи тригонометрических уравнений
   Тригонометрическиеуравнения
   Аксиомыстереометрии и следствия из них
   Взаимноерасположение двух прямых в пространстве
   Скрещивающиесяпрямые. Признак скрещивающихся прямых
   Теоремао трех перпендикулярах
   
   Алгебра
   Действительные числа. Приближениедействительных чисел конечными десятичными дробями.
   Веще?ственное, илидействи?тельное число — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, атакже проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений  [2].Если натуральные числа возникли в процессесчета, рациональные — из потребности оперироватьчастями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывныхвеличин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело кмножеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает такжедругие элементы, называемые иррациональными числами.
   Абсолютная погрешность и еёграница.
   Пусть имеется некоторая числоваявеличина, и числовое значение, которое ей присвоено />,считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовойвеличины (ошибкой) />понимают разностьмежду точным и приближенным значением числовой величины:  />. Погрешность может принимать какположительное так и отрицательное значение. Величина />называетсяизвестным приближением к точному значению числовой величины — любоечисло, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественноймерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностьюприближенного значения />называют величину />, про которую известно, что: /> Относительнаяпогрешность и её граница.
   Качество приближениясущественным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин,поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чеговводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностьюприближенного значения называют величину />, прокоторую известно, что: />.Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использованиеотносительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят отмасштабов величин и единиц измерения.
   Иррациональные уравненияУравнение, в которых под знакомкорня содержится переменная, называют иррациональными. При решениииррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например,что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. Всамом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 12=(-1) 2, 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения,используя равносильные переходы.
   Возведём обе части этогоуравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; иподставим.
   Комплексные числа. Действия надкомплексными числами.
   Ко?мпле?ксныечи?сла- расширение множества вещественных чисел,обычно обозначается />. Любое комплексное число можетбыть представлено как формальная сумма x + iy,где x и y — вещественныечисла, i — мнимая единица Комплексные числа образуюталгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеетровно nкомплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна изосновных причин широкого применения комплексных чисел в математическихисследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно икомпактно сформулировать многие математические модели, применяемые вматематической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
   Сравнение a + bi =c + di означает, что a = c и b = d (двакомплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны ихдействительные и мнимые части).
   Сложение (a+ bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
   Вычитание (a+ bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b? d) i.
   Умножение
   />
   Деление />
   Числовая функция. Способы задания функцииВ математике числовая функция — это функция, области определения и значенийкоторой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества действительных чисел /> илимножества комплексных чисел/>.
   Словесный: С помощьюестественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощьюаналитической формулы f (x) = x!
   Графический С помощью графика /> Фрагментграфика функции />.
   Табличный: С помощью таблицызначений
   x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
   Основные свойства функции1) Область определенияфункции и область значений функции. Область определения функции — этомножество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменнойx), при которых функция y = f (x) определена.
   Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимаетфункция. В элементарной математикеизучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции — такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежуткизнакопостоянства функции — такие множества значений аргумента, на которыхзначения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонностьфункции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, укоторой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большеезначение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция,у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшеезначение функции.5) Четность (нечетность) функции. Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно началакоординат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетнаяфункция — функция, у которой область определения симметрична относительноначала координат и для любого х из области определения справедливоравенство f (-x) = — f (x). График нечетной функции симметриченотносительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции. Функцияназывается ограниченной, если существует такое положительное число M,что |f (x) | ? M для всех значений x. Если такого числа не существует, тофункция — неограниченная.7) Периодическость функции. Функция f (x)- периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что длялюбого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такоенаименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрическиефункции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
   Графики функций. Простейшие преобразования графиковфункциейГрафик функции — множествоточек, у которых абcциссы являются допустимыми значениямиаргумента x,а ординаты — соответствующими значениями функции y.
   />Прямая линия — график линейнойфункции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 иубывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0(y = ax — прямая пропорциональность) />Парабола — график функцииквадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальнуюось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 — максимум. Точкипересечения (если они есть) с осью абсцисс — корни соответствующего квадратногоуравнения ax2 + bx +с =0
   />Гипербола — график функции />. При а > О расположена в I и IIIчетвертях, при а 0) или у — х (а < 0). />Логарифмическая функция y = logax(a > 0)
   Тригонометрические функции. Припостроении тригонометрических функций мы используем радианную меруизмерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком(рис. 19). Эта кривая называется синусоидой.
   />График функции y= cos x представлен на рис. 20; это также синусоида, полученная врезультате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влевона />/2.
   />/>
   Основные свойства функций. Монотонность,четность, нечетность, периодичность функций.
   Область определения функции иобласть значений функции. Область определения функции — этомножество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменнойx), при которых функция y = f (x) определена.
   Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимаетфункция.
   В элементарной математике изучаются функциитолько на множестве действительных чисел.2) Нуль функции — такоезначение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежуткизнакопостоянства функции — такие множества значений аргумента, на которыхзначения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонностьфункции.
   Возрастающая функция (внекотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этогопромежутка соответствует большее значение функции.
   Убывающая функция (внекотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этогопромежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции.Четная функция — функция, у которой область определения симметричнаотносительно начала координат и для любого х из области определениявыполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметриченотносительно оси ординат. Нечетная функция — функция, у которой областьопределения симметрична относительно начала координат и для любого х изобласти определения справедливо равенство f (-x) = — f (x). Графикнечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная инеограниченная функции. Функция называется ограниченной, еслисуществует такое положительное число M, что |f (x) | ? M для всехзначений x. Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.7)Периодическость функции. Функция f (x) — периодическая, еслисуществует такое отличное от нуля число T, что для любого x из областиопределения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее числоназывается периодом функции. Все тригонометрические функции являютсяпериодическими. (Тригонометрические формулы).
   Периодические функции. Правиланахождения основного периода функции.
   Периоди?ческаяфу?нкция ? функция, повторяющая свои значения черезкакой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении каргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Все тригонометрическиефункции являются периодическими. Являются неверными утвержденияотносительно суммы периодических функций: Сумма 2 функций с соизмеримыми (дажеосновными) периодами T1 и T2 являетсяфункция с периодом НОК (T1,T2).Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодамиявляется непериодической функцией. Не существует периодических функций, неравных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.
   Построение графиков степенныхфункций.
   Степенная функция. Этофункция: y = axn, где a, n — постоянные. При n= 1 получаем прямую пропорциональность: y =ax; при n= 2 — квадратную параболу; при n = ?1 — обратнуюпропорциональность илигиперболу. Таким образом, эти функции — частныеслучаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличногоот нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращаетсяв постоянную величину: y =a, т. e. её график — прямая линия,параллельная оси Х, исключая начало координат (поясните, пожалуйста,почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n />0) и рис.14 (n < 0). Отрицательныезначения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:
   />/>.
   Обратная функцияОбра?тная фу?нкция — функция, обращающая зависимость,выражаемую данной функцией. Функция />является обратной к функции />, есливыполнены следующие тождества: />для всех /> />для всех />
   Предел функции в точке. Основныесвойства предела.
   Корень n-ой степени и егосвойства.
   Корнем n-ой степени из числа aназывается такое число, n-ая степень которого равна a.
   Определение: Арифметическимкорнем n-ой степени из числа a называют неотрицательное число, n-ая степенькоторого равна a.
   Основные свойства корней:
   />
   Степень с произвольнымдействительным показателем и его свойства.
   Пусть дано положительное число />и произвольноедействительное число />. Число />называется степенью, число /> – основанием степени, число /> – показателемстепени.
   По определению полагают:
   />.
   />.
   />, />.
   Если />и /> – положительныечисла, />и /> – любые действительные числа,то справедливы следующие свойства:
   />.
   />.
   />.
   />.
   />.
   />            .
   />

2. История развития действительных чисел
   Лукина Кристина Андреевна
   Введение
   Тема об истории развития действительных чисел была заявлена нашим учителем математики, потому что в курсе математики изучение действительных чисел просто необходимо, и изучение их идет с древнейших времен.
   Актуальность данной темы: понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению.
   Цель работы: это изучить различные источники информации, проследить процесс появления действительных чисел и проанализировав проделанную работу, прийти к выводу.
   История действительных чисел
   действительный число арифметика ньютон
   На первых этапах существования человеческого общества числа служили для примитивного счета предметов, дней, шагов. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числа. С развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все больше числа, этот процесс продолжался на протяженности многих столетий и требовал напряженного интеллектуального труда. Еще в Древней Греции в геометрии было совершено принципиально важное открытие: не всякие точно заданные отрезки соизмеримы, другими словами, не у каждого отрезка длина может быть выражена рациональным числом, например, сторона квадрата и его диагональ.
   В «Началах» Евклида была изложена теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. В Древней Греции умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия в геометрической форме. Хотя греки обращались с такими отношениями, как с числами, они не осознали, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматривать, как число.
   Это было сделано в период зарождения современной математики в 17 веке при разработке методов изучения непрерывных процессов и методов приближенных вычислений. Исаак Ньютон во «Всеобщей арифметике» дает определение понятия действительного числа: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Позже, в 70 годах 19 века, понятие действительного числа было уточнено на основе анализа понятия непрерывности Р. Дедекиндом, Г. Кантором и К. Вейерштрассом. На первом этапе возникали понятия «больше», «меньше» или «равно». Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека. С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука АРИФМЕТИКА. Спустя некоторое время Пифагор открыл неизмеримые отрезки, длины которых не могли выразить ни целым, ни дробным числом. В дальнейшем возникает понятие «геометрическое выражение». Благодаря первым открытиям математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако их долгое время не признавали равноправными числами. Их признанию способствовало появление «Геометрии» Декарта. После стало известно, что любое число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. В 18в. Л.Эйлер и И.Ламберт показали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом
   Изучать действительные числа нужно, потому что они являются основой науки арифметики, так же действительные числа способствовали возникновению рациональных и иррациональных чисел.
   Список литературы
   2)
   ) Справочник по математике И.Н. Бронштейн и К.А. Семендяев
   ) Г.И. Глейзер «История математики в школе»

3. ?Министерство образования и науки
   Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
   РЕФЕРАТ
   по предмету “Математика”
   на тему: “Действительные числа”
   Выполнил:
   Студент 1 курса
   Факультет:
   Проверил: .
   Хабаровск
   2015г.
   Содержание
   Введение3
   1. История становления понятия действительного числа 4
   1.1. Наивная теория вещественных чисел 4
   1.2. Создание строгой теории 7
   2. Конструктивные способы определениядействительного числа 7
   2.1. Теория фундаментальных последовательностей Кантора 8
   2.2. Теория бесконечных десятичных дробей 9
   2.3. Теория сечений в области рациональных чисел 10
   3. Аксиоматический подход12
   3.1. Аксиоматика вещественных чисел 13
   3.1.1. Аксиомы поля 13
   3.1.2. Аксиомы порядка 14
   3.1.3. Аксиомы непрерывности15
   3.2. Другие системы аксиом вещественных чисел 15
   4. Свойства действительных чисел 16
   4.1. Связь с рациональными числами 16
   4.2. Теоретико-множественные свойства17
   5. Прикладные применения 19
   Заключение 19
   Список литературы 21
   Введение
   Темой реферата являетсяраскрытие и донесение понятия «Действительное число», его истории, путей развития, а так же его роль в математическом анализе. Понятие числа является первичным и  основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития.
   Множество натуральных чисел появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа ирациональные числа.
   Вторая и третья главы реферата посвящены теории действительных чисел и математических моделей их применения. Вещественное, или действительное число – математическая абстракция, возникшая из потребности человека в измерении геометрических и физических величин окружающего материального мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраическихуравнений. Если «Натуральные числа» возникли в процессе счета, «Рациональные числа» возникли из потребности оперировать частями целого, то «Вещественные (действительные) числа»- предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемыеиррациональными числами.
   В заключительных главах мы рассмотрим свойства действительных чисел и область их применения.
   1. История становления понятия действительного числа
   1.1. Наивная теория действительных чисел
   Подобно тому, как рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа, действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда…

4. Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.
   Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.
   Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия [3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере[3] была создана строгая теория вещественных чисел.
   С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
   Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.

   1. История становления понятия вещественного числа

   1.1. Наивная теория вещественных чисел

   Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом.[4]
   Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др.[5]
   Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным».[6] После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе[7], где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил:[6]
   Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.
   Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.
   Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону:[8]
   Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.
   Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало.[9] Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.
   Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

   1.2. Создание строгой теории

   Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана[10]. В более поздней работе[11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств[12], но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.
   Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

   2. Конструктивные способы определения вещественного числа

   При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел ), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием.
   Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.
   Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда[3][13].

   2.1. Теория фундаментальных последовательностей Кантора

   В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:
   0 \; \exists N(\varepsilon): \; \forall n > N(\varepsilon) \; \forall m > 0 \; | a_{n+m} – a_n |
   Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными.
   Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел {an}, обозначим [an].
   Два вещественных числа
   ? = [an] и ? = [bn],
   определённые соответственно фундаментальными последовательностями {an} и {bn}, называются равными, если
   Если даны два вещественных числа ? = [an] и ? = [bn], то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей {an} и {bn}:
   Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число ? = [an] по определению больше числа ? = [bn], то есть ? > ?, если
   0 \; \exists N: \; \forall n > N \; a_n \geqslant b_n + \varepsilon
   ” src=”http://upload.wikimedia.org/math/7/3/e/73eacbccee016a79d1d298911ea1ccc2.png” />
   Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.

   2.2. Теория бесконечных десятичных дробей

   Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида
   где  есть один из символов + или – , называемый знаком числа, a0 — целое неотрицательное число,  — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .
   Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида
   и для всех
   Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа
   Если a0 < b0, то ? < ?; если a0 > b0 то ? > ?. В случае равенства a0 = b0 переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд n, такой что . Если an < bn, то ? < ?; если an > bn то ? > ?.
   Однако, при этом следует учитывать, что число . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.
   Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел ? и ? называется вещественное число ? + ?, удовлетворяющее следующему условию:
   Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

   2.3. Теория сечений в области рациональных чисел

   В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.
   Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний A и верхний A‘, так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:
   множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.
   Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел ? и ? называется вещественное число ? + ?, удовлетворяющее следующему условию:

   3. Аксиоматический подход

   Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.
   В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.
   Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».
   Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.
   Здесь уместно привести знаменитое высказывает Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:
   Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках.

5. Актуальность выбранной темы работы. На сегодняшний день современное общество не может обойтись без чисел. Люди сталкиваются с ними каждый день и повсеместно, совершают с ними множество операций как в бумажном варианте, так и при помощи компьютерных технологий. Производство также не обходится без чисел, поскольку некоторые виды попросту автоматизированы.
   А чтобы программа смогла работать, нужно задать время, длительность, габариты и так далее. Народ к числам настолько привык, что иногда история их появления не интересует вовсе. Но в любом логическом процессе всегда задействована история, и от этого никуда не денешься. Как показывает практика, не зная прошлого довольно трудно вникнуть и понять настоящее, и поэтому необходимо стараться постигать истоки.
   По праву считается, что первые числа зародились еще в Древней Греции, когда их изображали при помощи подручных предметов – палочек или камней. Благодаря антропологам и археологам было установлено, что человечество умело вести счет уже в каменном веке. Числа использовались в то время, чтобы древние люди могли подсчитать шаги, добычу и врагов. Конечно, на этом перечисление не останавливается. Числа во все времена нужны были людям.
   Целью написания реферата на тему «Действительные числа и их история происхождения» является изучение истории зарождения действительных чисел. Для достижения поставленной цели необходимо решить поставленные задачи:
   – дать понятие и характеристику действительным числам;
   – изучить их историю зарождения;
   – по проделанной работе сделать соответствующие выводы.
   Объектом исследования являются действительные числа, предметом исследования – изучение истории их зарождения.
   Информационную базу для написания работы составили пособия по математике, истории математики и справочные издания.
   Цель и задачи реферата обусловили его структуру, который состоит из введения, двух параграфов, заключения и списка использованных источников.

6. Натуральные числа

   Исторически первыми возникли натуральные числа $N$, как результат пересчета пердметов. Множество этих чисел бесконечно и образует натуральный ряд $N=\{1, 2, 3, …, n, …\}$. В этом множестве выполнимы операции сложения и умножения. Для выполнения операции вычитания потребовались новые числа, что привело к появлению множества целых чисел: $Z$. $Z=N_+\cup N_- \cup \{0\}$. Таким образом в множестве целых чисел всегда выполняются операции сложения, умножения, вычитания.

   Рациональные числа

   Необходимость выполнения деления привела к множеству рациональных чисел $Q$. $Q=\{\frac{m}{n}, m\in Z, n\in N\}$.
   Определение. Два рациональных числа равны: $\frac{m_1}{n_1}=\frac{m_2}{n_2}$ – если $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Это означает, что всякое рациональное число можно представить единственным образом в виде несократмой дроби $\frac{m}{n}$. $НОД(m, n)=1$.

   Свойства множества рациональных чисел

   1. В результате арифметических операций над рациональными числами (сложение, умножение, вычитание, деление, кроме деления на ноль) получается рациональное число.
   2. Множество рациональных чисел упорядочено, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ либо $ab$.
   3. Множество рациональных чисел плотно, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ существует такое рациональное число $c$, что $aИррациональные числа
   Множество рациональных чисел замкнуто относительно четырёх арифметических операций. Однако в множестве рациональных чисел не всегда имеет место решение простейшего уравнения вида $x^2-n=0$. Поэтому возникает необходимость введения новых чисел.
   Покажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен трём. Доказательство проведём методом от противного.
   Предположим, что существует рациональное число $\frac{m}{n}$ такое, что его квадрат равен трём: $\left(\frac{m}{n}\right)^2=3\;\;\;(1)$.
   Будем считать дробь $\frac{m}{n}$ несократимой.
   $\frac{m^2}{n^2}=3$,
   $m^2=3n^2.\;\;\;(2)$
   Правая часть равенства (2) делится на 3. Значит и $m^2$ делится на 3, следовательно $m$ делится на 3, а это значит, что $m=3k$. Подставим в равенство (2), получим:
   $9k^2=3n^2$,
   $3k^2=n^2.\;\;\;(3)$
   Левая часть равенства $(3)$ делится на $3$, значит и правая часть делится на $3$. Следовательно $n^2$ делится на $3$, значит и $n$ делится на $3$, откуда $n=3p$. В результате получаем: $\frac{m}{n}=\frac{3k}{3p}$, то есть дробь $\frac{m}{n}$ оказалась сократимой, что противоречит предположению. Значит, среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен трём.
   Но число, квадрат которого равен трём, существует. Оно представимо в виде бесконечной непериодической дроби. И мы получили новый вид чисел. Назовём их иррациональными.
   Определение. Иррациональным числом называется любая бесконечная непериодическая дробь.
   Множество всех бесконечных непериодических дробей называется множеством иррациональных чисел и обозначается $I$.

   Действительные числа

   Объединение множества рациональных чисел $Q$ и иррациональных чисел $I$ даёт множество действительных чисел $R$: $Q\cup I=R$.
   Таким образом всякое действительное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби: периодической в случае рационального числа и непериодической в случае иррационального числа.

   Сравнение действительных чисел

   Для действительных чисел $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ сравнение осуществляется следующим образом:
   1) Пусть $a$ и $b$ оба положительны: $a>0$, $b>0$, тогда:
   $a=b$, если для любого $k$ $a_k=b_k$;
   $a>b$, если $\exists s$ $\forall kb_s$.
   2) Пусть $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0b$, если $-a<-b$.

7. Число
   —
   важнейшее математическое понятие,
   меняющееся на протяжении веков.
   Первые
   представления о числе возникли из счета
   людей, животных, плодов, различных
   изделий и пр. Результатом являются
   натуральные числа: 1, 2, 3, 4, …
   Исторически
   первым расширением понятия числа
   является присоединение к натуральному
   числу дробных чисел.
   Дробью
   называется
   часть (доля) единицы или несколько равных
   ее частей.
   Обозначаются: ,
   где m,
   n—
   целые числа;
   Дроби
   со знаменателем 10n,
   где n—
   целое число, называются десятичными:
   .
   Среди
   десятичных дробей особое место занимают
   периодические
   дроби: —
   чистая периодическая дробь, —
   смешанная периодическая дробь.
   Дальнейшее
   расширение понятия числа вызвано уже
   развитием самой математики (алгебры).
   Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного
   числа.
   Числа
   целые (положительные и отрицательные),
   дробные (положительные и отрицательные)
   и нуль получили название рациональных
   чисел.
   Всякое рациональное число может быть
   записано в виде дроби конечной и
   периодической.
   Для
   изучения непрерывно изменяющихся
   переменных величин оказалось необходимым
   новое расширение понятия числа —
   введение действительных (вещественных)
   чисел — присоединением к рациональным
   числам иррациональных: иррациональные
   числа —
   это бесконечные десятичные непериодические
   дроби.
   Иррациональные
   числа появились при измерении несоизмеримых
   отрезков (сторона и диагональ квадрата),
   в алгебре — при извлечении корней ,
   примером трансцендентного, иррационального
   числа являются ?, e .
   Числа
   натуральные
   (1,
   2, 3,…), целые
   (…,
   –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…), рациональные
   (представимые
   в виде дроби) и иррациональные
   (не
   представимые в виде дроби)
   образуют
   множество действительных
   (вещественных) чисел.
   Отдельно
   в математике выделяют комплексные
   числа.
   Комплексные
   числа возникают
   в связи с задачей решения квадратных
   для
   случая D
   < 0 ( здесь D
   – дискриминант
   квадратного уравнения). Долгое время
   эти числа не находили физического
   применения, поэтому их и назвали «мнимыми»
   числами. Однако сейчас они очень широко
   применяются в различных областях физики
   и техники: электротехнике, гидро- и
   аэродинамике, теории упругости и др.
   Комплексные
   числа записываются
   в виде: z=a+
   bi.
   Здесь
   a
   и
   b
   – действительные
   числа,
   а i
   – мнимая
   единица, т.e.
   i
   2
   =
   –1.
   Число a
   называется
   абсциссой,
   a
   b
   – ординатой
   комплексного
   числа a+
   bi.
   Два
   комплексных числа a+
   bi
   и
   a
   – bi называются
   сопряжёнными
   комплексными числами.
   Свойства:
   1.
   Действительное число а
   может
   быть также записано в форме комплексного
   числа: a+
   0i
   или
   a
   – 0i.
   Например 5 + 0i
   и
   5 – 0i
   означают
   одно и то же число
   5
   .
   2.
   Комплексное число 0+
   bi
   называется
   чисто
   мнимым
   числом.
   Запись
   bi
   означает
   то же самое, что и 0+
   bi.
   3.
   Два комплексных числа
   a+
   bi
   и
   c+
   di
   считаются
   равными, если
   a=
   c и
   b=
   d.
   В противном случае комплексные числа
   не равны.
   Действия:
   Сложение.
   Суммой
   комплексных чисел a+
   bi
   и
   c+
   di
   называется
   комплексное число (a+
   c)
   + (b+
   d)i.
   Таким
   образом, при
   сложении комплексных чисел отдельно
   складываются их абсциссы и ординаты.
   Вычитание.
   Разностью
   двух комплексных чисел a+
   bi
   (уменьшаемое)
   и c+
   di
   (вычитаемое)
   называется комплексное число (a
   – c)
   + (b
   – d)i.Таким
   образом, при
   вычитании двух комплексных чисел
   отдельно вычитаются их абсциссы и
   ординаты.
   Умножение.
   Произведением
   комплексных чисел a+
   bi
   и
   c+
   di
   называется
   комплексное число:
   (ac
   – bd)
   + (ad
   +
   bc)i
   .
   Это
   определение вытекает из двух требований:
   1)
   числа a+
   bi
   и
   c+
   di
   должны
   перемножаться, как алгебраические
   двучлены,
   2)
   число i
   обладает
   основным свойством:  i
   2
   =
   –1.
   П
   р и м е р
   .
   ( a+
   bi )(
   a
   – bi )=
   a
   2
   +
   b
   2.
   Следовательно,
   произведение
   двух
   сопряжённых комплексных чисел равно
   действительному положительному числу.
   Деление.
   Разделить
   комплексное число  a+
   bi
   (делимое)
   на другое c+
   di
   (делитель)
   –
   значит
   найти третье число e+
   f
   i
   (чатное),
   которое будучи умноженным на делитель
   c+
   di,
   даёт в результате делимое  a+
   bi.
   Если
   делитель не равен нулю, деление всегда
   возможно.
   П
   р и м е р .  Найти  ( 8 + i
   )
   : ( 2 – 3i
   ) .
   Р
   е ш е н и е . Перепишем это отношение в
   виде дроби:
   Умножив
   её числитель и знаменатель на  2 + 3i
   и
   выполнив
   все преобразования, получим:
   Задание 1: Сложите, вычтите, умножьте
   и разделите z1
   на z2
   1)
   ,
   2)
   ,
   3)
   ,
   Извлечение
   корня квадратного:
   Реши
   уравнение x
   2
   =
   –a.
   Для решения данного уравнения
   мы вынуждены воспользоваться числами
   нового типа – мнимые
   числа.
   Таким образом,  мнимым
   называется
   число,
   вторая
   степень которого является числом
   отрицательным.
   Согласно этому определению мнимых чисел
   мы можем определить и мнимую
   единицу:
   Тогда
   для уравнения  x
   2
   =
   – 25  мы получаем два мнимых
   корня:
   Задание 2: Реши
   уравнение:
   1)
   x
   2
   = – 36; 2) x
   2
   =
   – 49; 3) x
   2
   =
   – 121
   Геометрическое
   представление комплексных чисел.
   Действительные
   числа изображаются точками на числовой
   прямой:
   Здесь
   точка Aозначает
   число –3, точка B–число
   2, и  O
   –ноль.
   В
   отличие от этого комплексные числа
   изображаются точками на координатной
   плоскости. Выберем для этого прямоугольные
   (декартовы) координаты с одинаковыми
   масштабами на обеих осях. Тогда комплексное
   число a+
   bi
   будет
   представлено точкой  Р
   с абсциссой а
   и
   ординатой b.
   Эта система координат называется
   комплексной
   плоскостью.
   Модулем
   комплексного
   числа называется длина вектора OP,
   изображающего комплексное число на
   координатной (комплексной)
   плоскости. Модуль комплексного числа
   a+
   bi
   обозначается
   |
   a+
   bi
   |
   или ) буквой  r
   и
   равен:
   Сопряжённые
   комплексные числа имеют одинаковый
   модуль.
   Правила
   оформления чертежа практически такие
   же, как и для чертежа в декартовой системе
   координат По осям нужно задать
   размерность, отмечаем:
   ноль;
   единицу
   по действительной оси; Rez
   мнимую единицу по
   мнимой оси. Imz
   Задание
   3. Построить на комплексной плоскости
   следующие комплексные числа:
   ,
   ,
   ,
   ,
   ,
   ,
   ,
   1.
   Числа точные и приближенные. Числа,
   с которыми мы встречаемся на практике,
   бывают двух родов. Одни дают истинное
   значение величины, другие – только
   приблизительное. Первые называют
   точными, вторые – приближенными. Чаще
   всего удобно пользоваться приближенным
   числом вместо точного, тем более, что
   во многих случаях точное число вообще
   найти невозможно.
   Так, если говорят, что
   в классе есть 29 учеников, то число 29 –
   точное. Если же говорят, что расстояние
   от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь
   число 960 – приближенное, так как, с одной
   стороны, наши измерительные инструменты
   не абсолютно точны, с другой стороны,
   сами города имеют некоторую протяженность.
   Результат действий с
   приближенными числами есть тоже
   приближенное число. Выполняя некоторые
   действия над точными числами (деление,
   извлечение корня), можно также получить
   приближенные числа.
   Теория
   приближенных вычислений позволяет:
   1) зная
   степень точности данных, оценить степень
   точности результатов;
   2) брать
   данные с надлежащей степенью точности,
   достаточной для обеспечения требуемой
   точности результата;
   3)
   рационализировать процесс вычисления,
   освободив его от тех выкладок, которые
   не окажут влияния на точность результата.
   2. Округление. Одним
   из источников получения приближенных
   чисел является округление. Округляют
   как приближенные, так и точные числа.
   Округлением данного
   числа до некоторого его разряда называют
   замену его новым числом, которое
   получается из данного путем отбрасывания
   всех его цифр, записанных правее цифры
   этого разряда, или путем замены их
   нулями. Эти нули обычно подчеркивают
   или пишут их меньшими. Для обеспечения
   наибольшей близости округленного числа
   к округляемому следует пользоваться
   такими правилами: чтобы округлить число
   до единицы определенного разряда, надо
   отбросить все цифры, стоящие после цифры
   этого разряда, а в целом числе заменить
   их нулями. При этом учитывают следующее:
   1) если первая (слева)
   из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю
   оставленную цифру не изменяют (округление
   с недостатком);
   2) если первая
   отбрасываемая цифра больше 5 или равна
   5, то последнюю оставленную цифру
   увеличивают на единицу (округление с
   избытком).
   Покажем это на примерах.
   Округлить:
   а) до десятых 12,34;
   б) до сотых 3,2465; 1038,785;
   в) до тысячных 3,4335.
   г) до тысяч 12375; 320729.
   Ответы.
   а) 12,34 ? 12,3;
   б) 3,2465 ? 3,25; 1038,785 ?
   1038,79;
   в) 3,4335 ? 3,434.
   г) 12375 ? 12 000; 320729 ?
   321000.
   3. Абсолютная и
   относительная погрешности. Разность
   между точным числом и его приближенным
   значением называется абсолютной
   погрешностью приближенного числа.
   Например, если точное число 1,214 округлить
   до десятых, получим приближенное число
   1,2. В данном случае абсолютная погрешность
   приближенного числа 1,2 равна 1,214 – 1,2,
   т.е. 0,014.
   Но в большинстве
   случаев точное значение рассматриваемой
   величины неизвестно, а только приближенное.
   Тогда и абсолютная погрешность неизвестна.
   В этих случаях указывают границу, которую
   она не превышает. Это число называют
   граничной абсолютной погрешностью.
   Говорят, что точное значение числа равно
   его приближенному значению с погрешностью
   меньшей, чем граничная погрешность.
   Например, число 23,71 есть приближенное
   значение числа 23,7125 с точностью до 0,01,
   так как абсолютная погрешность приближения
   равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная
   абсолютная погрешность равна 0,01*.
   Граничную абсолютную
   погрешность приближенного числа а
   обозначают символом ?a . Запись
   x ?a (±?a )
   следует понимать так:
   точное значение величины x находится
   в промежутке между числамиа – ?a
   иа + ?а , которые называют
   соответственно нижней и верхней границейх и обозначают НГx ВГх .
   Например, если x ?
   2,3 (±0,1), то 2,2< x < 2,4. Наоборот, если 7,3< х
   < 7,4, тох ? 7,35 (±0,05). Абсолютная
   или граничная абсолютная погрешность
   не характеризует качество выполненного
   измерения. Одна и та же абсолютная
   погрешность может считаться значительной
   и незначительной в зависимости от числа,
   которым выражается измеряемая величина.
   Например если измеряем расстояние между
   двумя городами с точностью до одного
   километра, то такая точность вполне
   достаточна для этого изменения в то же
   время при измерении расстояния между
   двумя домами одной улицы такая точность
   будет недопустимой. Следовательно,
   точность приближенного значения величины
   зависит не только от величины абсолютной
   погрешности, но и от значения измеряемой
   величины. Поэтому мерой точности служит
   относительная погрешность.
   Относительной
   погрешностью называется отношение
   абсолютной погрешности к величине
   приближенного числа. Отношение граничной
   абсолютной погрешности к приближенному
   числу называют граничной относительной
   погрешностью; обозначают ее так:
   .
   Относительную и граничную относительную
   погрешности принято выражать в процентах.
   Например, если измерения показали, что
   расстояниех между двумя пунктами
   больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за
   приближенное значение его принимают
   среднее арифметическое этих двух чисел,
   т.е. их полусумму, тогда граничная
   абсолютная погрешность равна полуразности
   этих чисел. В данном случаех ? 12,5
   (±0,2). Здесь граничная абсолютная
   погрешность равна 0,2 км, а граничная
   относительная
   .

8. числовую ось горизонтально и положительное направление выбирать слева направо.
   Если число положительно, то его изображают точкой лежащей справа от точки О на расстоянии если число отрицательно, то его изображают точкой лежащей слева от точки О на расстоянии Точка О изображает число нуль. Очевидно, что каждое действительное число изображается определенной точкой числовой оси. Два различных действительных числа изображаются различными точками числовой оси.
   Справедливо также утверждение: каждая точка числовой оси является изображением только одного действительного числа (рационального или иррационального).
   Рис. 1.
   Таким образом, между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу соответствует единственная изображающая его точка и, наоборот, каждой точке соответствует единственное изображаемое ею число. Это дает возможность во многих рассуждениях в некотором смысле равнозначно употреблять понятие «число х» и понятие «точка х». Последним обстоятельством мы будем широко пользоваться в курсе.
   Укажем без доказательства следующее важное свойство совокупности действительных чисел: между двумя произвольными действительными числами найдутся как рациональные, так и иррациональные числа. В терминах геометрических это предложение формулируется так: между двумя произвольными пинками числовой оси найдутся как рациональные, так и иррациональные точки.
   В заключение отметим следующую теорему, представляющую собой в известном смысле «мостик между теорией и практикой».
   Теорема. Каждое иррациональное число а можно с любой степенью точности выразить с помощью рациональных чисел.
   В самом деле, пусть иррациональное число а > 0 и пусть требуется вычислить а с точностью до до 1/10, до 1/100 и т. д.).
   Каково бы ни было а, оно заключается между двумя целыми числами N и Разделим отрезок между N и на частей; тогда а окажется между рациональными числами Так как разность этих чисел равна то, следовательно, каждое из них выражает а с заданной степенью точности: первое с недостатком, а второе — с избытком.

9. Содержание
   Иррациональные уравнения
   Числовая функция. Способы задания функции
   Основные свойства функции
   Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией
   Обратная функция
   Степенная функции, её свойства и графики
   Показательная функция, её свойства и графики
   Показательные неравенства
   Логарифмы и их свойства
   Логарифмические уравнения
   Тригонометрические функции числового аргумента
   Функция y sinx ее свойства и график
   Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
   Частные случаи тригонометрических уравнений
   Тригонометрические уравнения
   Аксиомы стереометрии и следствия из них
   Взаимное расположение двух прямых в пространстве
   Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых
   Теорема о трех перпендикулярах
   Алгебра
   Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями.
   Вещемственное, или действимтельное число – математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2] . Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные – из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.
   Абсолютная погрешность и её граница.
   Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено , считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины: . Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой величины – любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: Относительная погрешность и её граница.
   Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.
   Иррациональные уравнения
   Уравнение, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 12= (-1) 2, 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.
   Возведём обе части этого уравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; и подставим.
   Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
   Коммплемксные чимсла – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле – это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках – электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
   Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
   Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
   Вычитание (a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d) i.
   Умножение
   Деление
   Числовая функция. Способы задания функции
   В математике числовая функция – это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств – как правило, множества действительных чисел или множества комплексных чисел .
   Словесный: С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x) = x!
   Графический С помощью графика Фрагмент графика функции .
   Табличный: С помощью таблицы значений
   x
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
   y
   1
   1
   2
   3
   5
   8
   13
   21
   34
   55
   Основные свойства функции
   1) Область определения функции и область значений функции. Область определения функции – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f (x) определена.
   Область значений функции – это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции. Четная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = – f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f (x) | ? M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.7) Периодическость функции. Функция f (x) – периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
   Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией
   График функции – множество точек, у которых абcциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты – соответствующими значениями функции y.
   Прямая линия – график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность) Парабола – график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0
   Гипербола – график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а 0) или у – х (а < 0). Логарифмическая функция y = logax (a > 0)
   Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис. 19). Эта кривая называется синусоидой.
   График функции y = cos x представлен на рис. 20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2.
   Основные свойства функций. Монотонность, четность, нечетность, периодичность функций.
   Область определения функции и область значений функции. Область определения функции – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f (x) определена.
   Область значений функции – это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
   В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции.
   Возрастающая функция (в некотором промежутке) – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
   Убывающая функция (в некотором промежутке) – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции. Четная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = – f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f (x) | ? M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.7) Периодическость функции. Функция f (x) – периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
   Периодические функции. Правила нахождения основного периода функции.
   Периодимческая фумнкция Ї функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Все тригонометрические функции являются периодическими. Являются неверными утверждения относительно суммы периодических функций: Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами T1 и T2 является функция с периодом НОК (T1,T2). Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией. Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.
   Построение графиков степенных функций.
   Степенная функция. Это функция: y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 – квадратную параболу; при n = ?1 – обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции – частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т. e. её график – прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:
   .
   Обратная функция
   Обрамтная фумнкция – функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех для всех
   Предел функции в точке. Основные свойства предела.
   Корень n-ой степени и его свойства.
   Корнем n-ой степени из числа a называется такое число, n-ая степень которого равна a.
   Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из числа a называют неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.
   Основные свойства корней:
   Степень с произвольным действительным показателем и его свойства.
   Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число – основанием степени, число – показателем степени.
   По определению полагают:
   .
   .
   , .
   Если и – положительные числа, и – любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:
   .
   .
   .
   .
   .
   .
   Степенная функции, её свойства и графики
   Степенная функция комплексного переменного f (z) = zn с целочисленным показателем определяется с помощью аналитического продолжения аналогичной функции вещественного аргумента. Для этого применяется показательная форма записи комплексных чисел. степенная функция с целочисленным показателем является аналитической во всей комплексной плоскости, как произведение конечного числа экземпляров тождественного отображения f (z) = z. Согласно теореме единственности эти два признака достаточны для единственности полученного аналитического продолжения. Пользуясь таким определением, можно сразу сделать вывод о том, что степенная функция комплексного переменного обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога.
   Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:
   а). Если , то . Тогда , ; если число – чётное, то и функция – чётная (то есть при всех ); если число – нечётное, то и функция – нечётная (то есть при всех ).
   Показательная функция, её свойства и графики
   Показательная функция – математическая функция .
   В вещественном случае основание степени – некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
   В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
   В самом общем виде – uv, введена Лейбницем в 1695 г.
   Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).
   Свойства ; ; .
   Показательные уравнения.
   Перейдем непосредственно к показательным уравнениям. Для того чтобы решить показательное уравнение необходимо воспользоваться следующей теоремой: Если степени равны и основания равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней. Докажем эту теорему: Пусть a>1 и aх=ay.
   Докажем, что в этом случае х=y. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. допустим, что x>у или что x< у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо aхay. Оба эти результата противоречат условию теоремы. Следовательно, x=у, что и требовалось доказать.
   Также доказывается теорема и для случая, когда 00 и a?1.
   Показательные неравенства
   Неравенства вида (или меньше) при а (х) >0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а (х) < 1 при сравнении f (x) и g (x) знак неравенства меняется, а при а (х) > 1 – сохраняется. Самый сложный случай при а (х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f (x) и g (x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию. Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а (х) = 0 или а (х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.
   Логарифмы и их свойства
   Логарифм числа b по основанию a (от греч. льгпт – “слово”, “отношение” и ?сйимьт – “число” [1] ) определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны. Пример: , потому что . Свойства
   Основное логарифмическое тождество:
   Логарифмическая функция, её свойства и графики.
   Логарифмической функцией называется функция вида f (x) = logax, определённая при
   Область определения:
   Область значения:
   График любой логарифмической функции проходит через точку (1; 0)
   Производная логарифмической функции равна:
   Логарифмические уравнения
   Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение loga х = b (где а > 0, а 1). Его решение x = ab.
   Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение loga х = b (а > 0, а 1) имеет решение х = аb.
   Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
   если loga f (х) = loga g (х), то f (х) = g (х), f (х) >0, g (х) >0, а > 0, а 1.
   Метод приведения логарифмического уравнения к квадратному.
   Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
   Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.
   Логарифмические неравенства.
   Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим: loga f (х) > loga g (х).
   При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения. Неравенство loga f (х) > loga g (х) равносильно системе f (x) > g (x) > 0 при a > 1 и системе 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1.
   Радианное измерение углов и дуг. Синус, косинус, тангенс, котангенс.
   Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение ?) – это поворот луча на 1/360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360?. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение `); одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются “).
   Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии (см. параграф “Длина дуги” в разделе “Геометрическое место точек. Круг и окружность”), длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол связаны соотношением: = l / r.
   Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r, то = 1, и мы говорим, что угол ??равен 1 радиану, что обозначается: = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:
   Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (AmB = AO, рис.1). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

   Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношение длин сторон прямоугольного треугольника.
   Синус:

   Косинус:

   Тангенс:

   Котангенс:

   Тригонометрические функции числового аргумента
   Определение.
   Синусом числа х называется число, равное синусу угла в х радианов. Косинусом числа х называется число, равное косинусу угла в х радианов.
   Аналогично определяются и другие тригонометрические функции числового аргумента х.
   Формулы привидения.
   Формулы сложения. Формулы двойного и половинного аргумента.
   Двойного.

   ;
   (; .
   Тригонометрические функции и их графики. Основные свойства тригонометрических функций.
   Тригонометрические функции – вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.
   Функция y sinx ее свойства и график
   Свойства:
   1. D (y) =R.
   2. Е (у) = [-1; 1].
   3. Функция у = sinx – нечетная, так как по определению синуса тригонометрического угла sin (–x) = – y/R = – sinx, где R – радиус окружности, у – ордината точки (рис).
   4. Т = 2л – наименьший положительный период. Действительно,
   sin (x+) = sinx.
   5. Точки пересечения с осями координат:
   с осью Ох: sinx = 0; х = n, nZ;
   с осью Oy: если х = 0, то у = 0,6. Промежутки знакопостоянства:
   sinx > 0, если x (2n; + 2n), nZ;
   sinx < 0, если х ( + 2n; 2+n), nZ.
   Знаки синуса в четвертях
   у > 0 для углов а первой и второй четвертей.
   у < 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей. 7. Промежутки монотонноти: y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-/2 + 2n; /2 + 2n],
   nz и убывает на каждом из промежутков [/2 + 2n; 3/2 + 2n], nz.
   8. Точки экстремума и экстремумы функции:
   xmax = /2 + 2n, nz; ymax = 1;
   ymax = – /2 + 2n, nz; ymin = – 1.
   Свойства функции у = cosx и ее график:
   Свойства:
   1. D (y) = R.
   2. Е (у) = [-1; 1].
   3. Функция у = cosx – четная, так как по определению косинуса тригонометрического угла cos (-a) = x/R = cosa на тригонометрическом круге (рис)
   4. Т = 2 – наименьший положительный период. Действительно,
   cos (x+2n) = cosx.
   5. Точки пересечения с осями координат:
   с осью Ох: cosx = 0;
   х = /2 + n, nZ;
   с осью Оу: если х = 0,то у = 1.
   6. Промежутки знакопостоянства:
   cosx > 0, если х (-/2+2n; /2 + 2n), nZ;
   cosx < 0, если х (/2 + 2n; 3/2 + 2n), nZ.
   Доказывается это на тригонометрическом круге (рис). Знаки косинуса в четвертях:
   x > 0 для углов первой и четвертой четвертей.
   x < 0 для углов второй и третей четвертей. 7. Промежутки монотонноти: y = cosx возрастает на каждом из промежутков [- + 2n; 2n],
   nz и убывает на каждом из промежутков [2n; + 2n], nz.
   Свойства функции у = tgx и ее график: свойства –
   1. D (y) = (xR, x /2 + n, nZ).
   2. E (y) =R.
   3. Функция y = tgx – нечетная
   4. Т = – наименьший положительный период.
   5. Промежутки знакопостоянства:
   tgx > 0 при х (n; /2 + n;), nZ;
   tgx < 0 при x (-/2 + n; n), nZ.
   Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.
   6. Промежутки монотонности:
   y = tgx возрастает на каждом из промежутков
   (-/2 + n; /2 + n),
   nz.
   7. Точки экстремума и экстремумы функции:
   нет.
   8. x = /2 + n, nz – вертикальные асимптоты
   Свойства функции у = ctgx и ее график:
   Свойства:
   1. D (y) = (xR, x n, nZ). 2. E (y) =R.
   3. Функция y = ctgx – нечетная.
   4. Т = – наименьший положительный период.
   5. Промежутки знакопостоянства:
   ctgx > 0 при х (n; /2 + n;), nZ;
   ctgx < 0 при х (-/2 + n; n), nZ.
   Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке.
   6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков (n; + n), nZ.
   7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.
   8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида, полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на /2 и умножением на (-1) (рис)
   Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
   Обрамтные тригонометримческие фумнкции (круговые функции, аркфункции) – математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксимнус, арккомсинус, арктамнгенс, арккотангес. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки “арк-” (от лат. arc – дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin?1 для арксинуса и т.п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень ?1. Основное соотношение
   Функция y=arcsinX, её свойства и графики.
   Арксинусом числа m называется такой угол x, для которогоФункция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей. (функция является нечётной).
   Функция y=arccosX, её свойства и графики.
   Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого
   Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей. cos (arccosx) = x при arccos (cosy) = y при D (arccosx) = [? 1; 1], (область определения), E (arccosx) = [0; р]. (область значений). Свойства функции arccos (функция центрально-симметрична относительно точки
   Функция y=arctgX, её свойства и графики.
   Арктангенсом числа m называется такой угол б, для которого Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
   при
   при
   Свойства функции arctg
   ,
   .
   Функция y=arcctg, её свойства и графики.
   Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого
   Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
   Функция является строго убывающей. при при 0 < y < р Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки при любых x.
   .
   Простейшие тригонометрические уравнения.
   Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x – переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

   Частные случаи тригонометрических уравнений
   Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x – переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

   Тригонометрические уравнения

    Аксиомы стереометрии и следствия из них
   Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
   А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости
   АB Прямая АВ лежит в плоскости
   рис.5
   Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
   а = М Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.
   Рис.6
   А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
   = a и пересекаются по прямой а.
   рис.7
   Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
   Взаимное расположение двух прямых в пространстве
   Две прямые, заданные уравнениями
   или
   пересекаются в точке.
   Параллельность прямой и плоскости.
   Определение 2.3 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна плоскости б, то пишут a || б. Теорема 2.4 Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости. Доказательство Пусть b б, a || b и a б (чертеж 2.2.1). Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна б, тогда прямая a пересекает плоскость б в некоторой точке A. Причем A b, так как a || b. Согласно признаку скрещивающихся прямых прямые a и b скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию. Теорема 2.5 Если плоскость в проходит через прямую a, параллельную плоскости б, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a. Доказательство Действительно, прямые a и b не являются скрещивающимися, так как они лежат в плоскости в. Кроме того, эти прямые не имеют общих точек, так как a || б. Определение 2.4 Прямую b иногда называют следом плоскости в на плоскости б.
   Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых
   Прямые называются скрещивающимися при выполнении следующего условия: Если представить, что одна из прямых принадлежит произвольной плоскости, то другая прямая будет пересекать эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой. Иными словами, две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Проще говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными.
   Теорема (1): Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
   Теорема (2): Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
   Теорема (3): Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
   Параллельность прямых. Свойства параллельных плоскостей.
   Параллельными (иногда – равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается. Свойства Параллельность – бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две) 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости. б При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей: Секущая обязательно пересекает обе прямые. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства: Накрест лежащие углы равны. Соответственные углы равны. Односторонние углы в сумме составляют 180°.
   Перпендикулярность прямой и плоскости.
   Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку пересечения.
   ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
   Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
   1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
   Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
   2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
   Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
   Теорема о трех перпендикулярах
   Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной.
   Пусть AB – перпендикуляр к плоскости б, AC – наклонная и c – прямая в плоскости б, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведем прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости б (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c. Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость в (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости в, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.
   Обратная теореме о трех перпендикулярах
   Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
   Пусть АВ – перпендикуляр к плоскости a, АС – наклонная и с – прямая в плоскости a, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости a (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость b (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости b, это АС по условию и СК по построению, значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости a.
   Перпендикуляр и наклонная.
   Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
   Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
   Определение 1. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.
   Определение 2. Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку с любой точкой прямой, неявляющейся основанием перпендикуляра, опущенного из этой же точки на данную прямую. AB – перпендикуляр к плоскости б.
   AC – наклонная, CB – проекция.
   С – основание наклонной, B – основание перпендикуляра.
   Угол между прямой и плоскостью.
   Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
   Двугранный угол.
   Двугранный угол – пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая – ребром. Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.
   Перпендикулярность двух плоскостей.
   ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.
   Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

10. .
    Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ
    В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа.
    В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса [1] отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему.
    Определение 1
    Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.
    Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от французского слова entiere – целый.
    Пример.
    Вычислить [x], если х принимает значения:
    1,5; 3; -1.3; -4.
    Решение
    Из определения [x] следует:
    [1,5] = 1, т.к. 1Z, 1 1,5
    [ 3 ] = 3, т.к. 3Z, 3 3
    [-1,3]=-2, т.к. –2Z, -2 -1,3
    [-4] =-4, т.к. -4Z, -4-4.
    Свойства целой части действительного числа.
    1°. [ x ] = x, если хZ
    2°. [ x ]x ? [ x ] + 1
    3°. [ x + m ] = [ x ] + m, где mZ
    Рассмотрим примеры использования этого понятия в различных задачах.
    Пример 1
    Решить уравнения:
    1.1[ x ] = 3
    [ x + 1,3 ] = — 5
    [ x + 1 ] + [ x – 2] – [x + 3 ] = 5
    1.4 [ x ] — 7 [ x ] + 10 = 0
    Решение
    1.1 [ x ] = 3. По свойству 2° данное уравнение равносильно неравенству 3 х ? 4
    Ответ: [ 3; 4 )
    [ x + 1,3 ] = — 5. По свойству 2°:
    — 5 х + 1,3 ? — 4 — 6,3 х ? — 5,3
    Ответ: [ -6,3; -5,3 )
    [ x + 1 ] + [ x – 2 ] – [ x + 3 ] = 5. По свойству 3°:
    [ x ] + 1 + [ x ] – 2 – [ x ] – 3 = 5
    [ x ] = 9 9 x ? 10 (по 2° )
    Ответ: [ 9; 10 )
    1.4 [ x ] — 7 [ x ] + 10 = 0 Пусть [ x ] = t, тогда t — 7 t + 10 = 0 , т.е.
    Ответ: [ 2; 3 ) [ 5; 6)
    Пример 2.
    Решить неравенства:
    2.1 [ x ] 2
    [ x ] > 2
    [ x ] 2
    [ x ] < 2 [ x ] — 8 [ x ] + 15 0 Решение 2.1 Согласно определению [ x ] и 1°, этому неравенству удовлетворяют х Ответ: [ 2; ). 2.2 Решение этого неравенства: х. Ответ: [ 3; ). 2.3 x < 3 2.4 x < 2 2.5 Пусть [ x ] = t, тогда данное неравенство равносильно системе 3 Ответ: [ 3; 6 ). 2.6 Пусть [ x ] = t, тогда получим. Ответ: (-. Пример 4. Постройте график функции y = [ x ] Решение 1). ООФ: х R 2). МЗФ: y Z 3). Т.к. при х О [ m; m + 1), где m О Z, [ x ] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х О [ -1; 0 ) Ю [ x ] = -1 Ю y = — 1; x О [ 0; 1) Ю [ x ] = 0 Ю y = 0. Примечание. 1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках. 2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику. Определение 2. Дробной частью действительного числа х называется разность х – [ x ]. Дробная часть числа х обозначается символом { x }. Пример. Вычислить { x }, если х принимает значение: 2,37; -4 ; 3,14.. .; 5 . Решение { 2,37 } = 0,37, т.к. { 2,37 } = 2,37- [ 2,37 ] = 2,37 – 2 = 0,37. , т.к. { 3,14…} = 0,14…, т.к. { 3,14…} = 3,14…-[ 3,14…] = 3,14…-3= 0,14… { 5 } = 0, т.к. { 5 } = 5 – [ 5 ] = 5 – 5 = 0. Свойства дробной части действительного числа. 1°. { x } = x – [ x ] 2°. 0 { x } < 1 3°. { x + m } = { x }, где m О Z 4°. { x } = x, если х О [ 0; 1) 5° Если { x } = а, a О [ 0; 1), то х =а +m, где m О Z 6°. { x } = 0, если х О Z. Рассмотрим примеры применения понятия { x } в различных упражнениях. Пример 1. Решить уравнения: 1.1 { x } = 0,1 1.2 { x } = -0,7 { x } = 2,5 { x + 3 } = 3,2 { x } — { x } + Решение По 5° решением будет множество х = 0,1 + m, m О Z 1.2 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ 1.3 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ По 3° уравнение равносильно уравнению { x }+ 3 = 3,2 Ю { x } = 0,2 Ю x = 0,2 + m, m О Z 1.5 Уравнение равносильно совокупности двух уравнений Ответ: х= х= Пример 2. Решить неравенства: 2.1 { x }0,4 2.2 { x } 0 { x + 4 } < 4,7 { x }-0,7 { x } + 0,2 > 0
    Решение
    2.1 По 5°: 0,4 + m x < 1 + m, где m О Z 2.2 По 1°: х О R По 3°: {x } + 4 < 4,7 Ю { x }< 0,7. По 5°: m < x < 0,7 + m, m О Z 2.4 Так как { x } 0, то { x } — 1 > 0, следовательно, получим 2 { x } + 1 < ЮЮ { x } < 1 Ю x О R 2.5 Решим соответствующее квадратное уравнение: { x } — 0,7 { x } + 0,2 = 0 ЮДанное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: Ответ: ( 0,5 + m; 1 + m ) ( k; 0,2 + k ), m О Z, k О Z Пример 3. Построить график функции y = { x } Построение. 1). ООФ: x О R 2). МЗФ: y О [ 0; 1 ) 3). Функция y = { x } периодическая и ее период T = m, m О Z, т.к. если х О R, то (x+m) О R и (x-m) О R, где m О Z и по 3° { x + m } = { x – m } = { x }. Наименьший положительный период равен 1, т.к. если m > 0, то m = 1, 2, 3,… и наименьшее положительное значение m = 1.
    4). Так как y = { x } – периодическая функция с периодом 1, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке, длиной 1, например, на промежутке [ 0; 1 ), тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного на m, m О Z, график будет таким же.
    а). Пусть х О [ 0; 1 ), тогда { x } = x и y = x. Получим, что на промежутке [ 0; 1 ) график данной функции представляет отрезок биссектрисы первого координатного угла, из которого исключен правый конец.
    б). Воспользовавшись периодичностью, получаем бесконечное множество отрезков, образующих с осью Ох угол в 45°, из которых исключен правый конец.
    Примечание.
    Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.
    Пример 4.
    Решить уравнение 17 [ x ] = 95 {x }
    Решение
    Т.к. { x } О [ 0; 1 ), то 95 { x }О [ 0; 95), а, следовательно, и 17 [ x ]О [ 0; 95 ). Из соотношения
    17 [ x ]О [ 0; 95 ) следует [ x ]О, т.е. [ x ] может равняться 0, 1, 2, 3, 4, и 5.
    Из данного уравнения следует, что { x } = , т.е. с учетом полученного множества значений для
    [ x ] делаем вывод: { x }, соответственно, может равняться 0;
    Т. к. требуется найти х, а х = [ x ] + { x }, то получаем, что х может равняться
    0;
    Ответ:
    Примечание.
    Аналогичное уравнение предлагалось в 1 туре краевой математической олимпиады для десятиклассников в 1996 году.
    Пример 5.
    Построить график функции y = [ { x } ].
    Решение
    ООФ: х О R, т.к. { x }О [ 0; 1 ), а целая часть чисел из промежутка [ 0; 1) равна нулю, то данная функция равносильна y = 0
    y
    0 x
    Пример 6.
    Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению { x } =
    Решение
    Т. к. данное уравнение равносильно уравнению х = , m О Z по 5°, то на координатной плоскости следует построить множество вертикальных прямых х =+ m, m О Z
    y
    0 x
    Список литературы
    Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики /Н. Я. Виленкин и др., по ред. Н. Я. Виленкина.- М. Просвещение, 1995 г.
    В. Н. Березин, И. Л. Никольская, Л. Ю. Березина Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике — М. 1985
    А. П. Карп Даю уроки математики — М., 1982 г.
    Журнал “Квант”, 1976, № 5
    Журнал “Математика в школе”: 1973 №1, №3; 1981 №1; 1982 №2; 1983 №1; 1984 №1; 1985 №3.

11. Вопрос-Ответник
    В:  — Что будет, если скрестить Кенгуру и Слона?
    О:  — Большие ямы по всей Австралии…
    _
    _
    В предыдущей статье мы ввели определение действительного числа. Мы узнали какие числа называются действительными рассмотрели некоторые их особенности. Сейчас же мы разберем наиболее часто встречающиеся при изучении действительных чисел вопросы и рассмотрим их на конкретных примерах.
    Действительные числа на примерах
    Вопрос-ответ:
    В: Какие числа называются действительными?
    О: Действительное число (также его часто называют вещественным ) — это любое положительное число, отрицательное число или нуль.
    В: Что такое отрицательное действительное число?
    О: Отрицательным действительным числом (вещественным) называют бесконечную десятичную дробь вида «?» = — N, n1 n2… nk. . . не оканчивающуюся последовательностью девяток.
    В: Является ли ноль действительным числом?
    О: Да, согласно определению ноль — действительное число.
    В: Назовите примеры действительных чисел.
    О: -100, -1,25686, 0, 1.7272727…, 7/8, 3,14…, 100500 — все это действительные числа.
    В: Какие действительные числа не являются рациональными?
    О: Множество действительных чисел разделяется на множества рациональных и иррациональных чисел. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — натуральные числа. Также иногда говорят, что иррациональное число — это число, не являющееся рациональным (ИМХО бред). В связи с данной неопределенность вопрос с иррациональными числами представляется несколько запутанным.
    Запомните народную примету простое правило: рациональные числа, если их записать десятичной дробью, обязательно дадут конечную или бесконечную периодическую дробь. Иррациональные же числа, записанные в виде десятичной дроби, оказываются представленными бесконечной непериодической дробью.
    Примеры иррациональных чисел:
    v2=1,41421…….
    ? = 3,14159……..
    0,10100100010000100…….
    У этих чисел нет последней цифры и нет периодического повторения групп цифр в «хвосте»
    В: Что такое целая часть действительного числа?
    О: Чем объяснять проще показать на примере:
    2,12156 — целая часть = 2
    7,01245 — целая часть = 7
    0,1 — целая часть = 0
    100 — целая часть = 100
    15/2 — целая часть = 7 (15/2=7,5)
    В: Что такое модуль действительного числа?
    О:  1.Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Модуль числа a обозначается|a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|? 0.
    __2.Модулем действительного число называется расстояние от начала отсчёта до точки, соответствующей данному числу (заметьте, расстояние не может быть отрицательным — на мой взгляд самое удачное определение)
    __Вообще говоря, действительные числа — понятие достаточно абстрактное. Основной смысл использования в математике всего множества действительных чисел заключается в необходимости измерения непрерывных величин. Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.