Сочинение на тему система счисления

13 вариантов

1. Муниципальное общеобразовательное учреждение
   Ангеловская средняя общеобразовательная школа
   Реферат
   по информатике и информационно-коммуникационным технологиям
   Тема: «Системы счисления»
   Работу выполнила
   ученица 9 класса
   Мунческу Лорина Валерьевна.
   Работу проверил
   учитель информатики
   Шишкин Алексей Сергеевич.
   с. Ангелово
   2009г.
   Оглавление
   Введение
   История систем счисления
   Позиционные и непозиционные системы счисления
   Двоичная система счисления
   Двоичное кодирование в компьютере
   Перевод чисел из одной системы счисления в другую
   Заключение
   Список использованной литературы
   Введение        На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.
   Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ» и т.д.).
   Особо важную роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.
   Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках.
   На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение.
   На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой же смысл приобретают потом последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион.
   На современном этапе границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает какое либо конкретное число.
   Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами – они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах. Поэтому эта тема для меня очень интересна, и мне захотелось узнать об этом больше.
   История систем счисленияСистема счисления – это способ записи (изображения) чисел.
   Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы:
   позиционные,
   непозиционные.
   Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления. Они являются результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
   Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.
   Существует много различных систем счисления. Некоторые  из них распространены, другие распространения не получили.  Наиболее простая и понятная для нас  система  счисления  –  десятичная (основание 10). Понятна она потому, что мы используем ее в повседневной жизни.
   Единичная система
   В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому предмету в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.). Ученые назвали этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков – палочка. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.
   Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек; при записи большого числа легко ошибиться – нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.
   Можно предположить, что для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Поскольку люди, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 и 10 штук (единиц). И таким образом возникли уже более удобные системы записи чисел.
   Древнегреческая нумерация
   В древнейшее время в Греции была распространена т.н. аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками , ,,. Число 5 записывалось знаком  (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» – пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались , , , . Число 10 обозначалось  (начальной буквой слова «дека»  – десять). Числа 100, 1000 и 10000 обозначались , , . Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000.
   Запись чисел в аттической системе счисления:
   ,
   ,
   ,
   .
   В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1 – 9 обозначались первыми девятью буквами алфавита; числа 10, 20, 30, … , 90 – следующими девятью буквами; числа 100, 200, … , 900 – последними девятью буквами.
   Обозначение чисел в ионийской системе нумерации
   Обозна-чение
   Название
   Значе-ние
   Обозна-чение
   Название
   Значе-ние
   Обозна-чение
   Назва-ние
   Значе-ние
   Альфа
   1
   Йота
   10
   Ро
   100
   Бета
   2
   Каппа
   20
   Сигма
   200
   Гамма
   3
   Лямбда
   30
   Тау
   300
   Дельта
   4
   Мю
   40
   Ипсилон
   400
   Эпсилон
   5
   Ню
   50
   Фи
   500
   Фауб
   6
   Кси
   60
   Хи
   600
   Дзета
   7
   Омикрон
   70
   Пси
   700
   Эта
   8
   Пи
   80
   Омега
   800
   Тэта
   9
   Коппа
   90
   Сампи
   900
   Запись чисел в ионийской системе счисления
   ,
   ,
   ,
   ,
   .
   Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок:   («титло»).
   Обозначение чисел в древнеславянской системе нумерации
   Обозна-чение
   Название
   Значе-ние
   Обозна-чение
   Название
   Значе-ние
   Обозна-чение
   Назва-ние
   Значе-ние
   Аз
   1
   И
   10
   Рцы
   100
   Веди
   2
   Како
   20
   Слово
   200
   Глаголь
   3
   Люди
   30
   Твердо
   300
   Добро
   4
   Мыслите
   40
   Ук
   400
   Есть
   5
   Наш
   50
   Ферт
   500
   Зело
   6
   Кси
   60
   Хер
   600
   Земля
   7
   Он
   70
   Пси
   700
   Иже
   8
   Покой
   80
   Омега
   800
   Фита
   9
   Червь
   90
   Цы
   900
   Славянская нумерация
   В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация», которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. При записи чисел, больших 10, цифры писались слева направо в порядке убывания десятичных разрядов (однако иногда для чисел от 11 до 19 единицы записывались ранее десяти). Для обозначения тысяч перед числом их  (слева внизу) ставился особый знак .
   Запись чисел в древнеславянской системе счисления:
   ,
   ,
   ,
   .
   Римская нумерация
   Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.
   В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: , , , , , , .
   В римской нумерации явственно сказываются следы пятиричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятиричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (предположительно у этрусков).
   Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз.
   Запись чисел римскими цифрами:
   ,
   ,
   ,
   .
   Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень громоздко и трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы – до XVI века.
   Вавилонская поместная нумерация
   В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация – тоже поместная, однако в вавилонской поместной нумерации ту роль, которую играет у нас число 10, играло число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятеричной. Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: для единицы  и для десятка . Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз. При отсутствии промежуточного разряда применялся знак.
   Запись вавилонской клинописью чисел до 60
   ,
   ,
   ,
   .
   Запись вавилонской клинописью чисел, больших 60
   Обозначение
   Значение
   Способ образования
   302
   1295
   3725
   7203
   Шестидесятеричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Среднего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.
   Позиционные и непозиционные системы счисленияРазнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
   В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.
   В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.
   В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.
   Наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.
   Различие между позиционной и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бoльшая цифра соответствует бoльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.
   Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его указывают в обычной десятичной системе. Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:
   Хs={AnAn-1An-2…A2A1}s =An·Sn-1+An-1·Sn-2+An-2·Sn-3+…+A2·S1+A1·S0
   где S – основание системы счисления, Аn – цифры числа, записанного в данной системе счисления, n – количество разрядов числа.
   Так, например число 629310 запишется в форме многочлена следующим образом:
   629310=6·103  + 2·102 + 9·101 + 3·100
   Примеры позиционных систем счисления:
   Двоичная (или система счисления с основанием 2) это положительная целочисленная позиционная (поместная) система счисления, позволяющая представить различные численные значения с помощью двух символов. Чаще всего это 0 и 1.
   Восьмеричная — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры 0 до 7. Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Ранее широко использовалась в программировании и компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
   Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Наиболее распространённая система счисления в мире. Для записи чисел наиболее часто используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами.
   Двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас) — позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Некоторые народы Нигерии и Тибета до сих пор используют двенадцатиричную систему счисления, но отголоски ее можно найти практически в любой культуре. В русском языке есть слово “дюжина”, в английском “dozen”, в некоторых местах слово двенадцать употребляют вместо «десять», как круглое число, например, подождите 12 минут.
   Шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 до 15. Широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.
   Шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 60. Использовалась в древние времена на Ближнем Востоке. Последствиями этой системы счисления является деление углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.
   Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.
   Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.
   Другие системы счисления не используются в основном, потому что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.
   Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.
   Двоичная система счисленияДвоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Некоторые идеи, лежащие в основе двоичной системы, по существу были известны в Древнем Китае. Об этом свидетельствует классическая книга “И цзин” (“Книга перемен”).
   Идея двоичной системы была известна и древним индусам.
   В Европе двоичная система, видимо, появилась уже в новое время. Об этом свидетельствует система объемных мер, применяемая английскими виноторговцами: два джилла = полуштоф, два полуштофа = пинта, две пинты = кварта, две кварты = потл, два потла = галлон, два галлона = пек, два пека = полубушель, два полубушеля = бушель, два бушеля = килдеркин, два килдеркина = баррель, два барреля = хогзхед, два хогзхеда = пайп, два пайпа = тан.
   И в английских мерах веса можно увидеть двоичный принцип. Так, фунт (обычный, не тройский) содержит 16 унций, а унция — 16 дрэмов. Тройский фунт содержит 12 тройских унций. В английских аптекарских мерах веса, однако, унция содержит восемь дрэмов.
   Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г.В. Лейбниц (получивший, от Петра I звание тайного советника). Он отмечал особую простоту алгоритмов арифметических действий в двоичной арифметике в сравнении с другими системами и придавал ей определенный философский смысл. Говорят, что по его предложению была выбита медаль с надписью: “Для того чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы”. Известный современный математик Т.Данциг о нынешнем положении дел сказал: “Увы! То, что некогда возвышалось как монумент монотеизму, очутилось в чреве компьютера”.
   Потом о двоичной системе забыли. В течение почти 200 лет на эту тему не было издано ни одного труда. Вернулись к ней только в 1931 году, когда были продемонстрированы некоторые возможности практического применения двоичного счисления. В 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.
   Двоичная система счисления (Бинарная система счисления, binary) — позиционная система счисления с основанием 2. Для представления чисел используются символы 0 и 1.
   Главное достоинство двоичной системы — простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требует ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе.  И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе. Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если, второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.
   Таблица деления сводится к двум равенствам 0/1 = 0, 1/1 = 1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе и, по существу, сводится к многократному вычитанию. Выполнение основной процедуры – выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть либо 0, либо сам делитель.
   Сложение многоразрядных двоичных чисел осуществляется в соответствии с таблицей с учетом возможных переносов  из младшего разряда в старшие.
   Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:
   0 + 0 = 0
   1 + 0 = 1
   0 + 1 = 1
   1 + 1 = 10
   При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак. Таблица разности двоичных чисел:
   0 – 0 = 0
   1 – 1 = 0
   1 – 0 = 1
   10 – 1 = 1
   Существует более легкий способ вычитания в двоичной системе, для этого необходимо каждую цифру 1 вычитаемого поменять на цифру 0, а цифру 0 поменять на цифру 1 и выполнить сложение получившихся чисел. Рассмотрим пример:
   1100112-10012=1100112-0010012=1100112+1101102=1010012
   Недостатком двоичной системы является то, что она не привычна для человека. Значит, неудобством этой системы счисления (как, впрочем, и всякой другой, отличной от десятичной) является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений.
   Двоичное кодирование в компьютереВ конце ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде.
   Каким же образом осуществляется это хранение? Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляют собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Любой такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом.
   Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0.
   Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны двоичное кодирование информации уметь получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда (как на счетах при помощи костяшек). Такие машины существуют. Однако конструкция элементов такой машины оказывается чрезвычайно сложной, что сказывается на надежности и скорости работы ЭВМ. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено – не намагничено, высокое напряжение – низкое напряжение и т.д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении.
   Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.
   В современные компьютеры мы можем вводить текстовую информацию, числовые значения, а также графическую и звуковую информацию. Количество информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее «длиной» (или «объемом»), которая выражается в битах (от английского binary digit – двоичная цифра).
   Бит – минимальная единица измерения информации. В каждом бите может храниться 0 или 1.
   Для измерения объема хранимой информации используются следующие единицы:
   1 байт = 8 бит;
   1 кбайт (килобайт) = 1024 байт = 210 байт;
   1 Мбайт (мегабайт) = 1024 кбайт = 210кбайт = 220байт;
   1 Гбайт (гигабайт) = 1024 Мбайт = 210Мбайт = 220кбайт = 230байт.
   Число 1024 как множитель при переходе к более высшей единице измерения имеет своим происхождением двоичную систему счисления (1024 – это десятая степень двойки):
   Все позиционные системы счисления являются равноправными, но в разных случаях удобнее пользоваться разными системами. Из всех позиционных систем счисления наибольшее распространение, за исключением десятичной, получила двоичная система счисления. В первую очередь это связано с надежностью представления информации: при ее кодировании, передаче и декодировании вероятность ошибки (потери информации) мала по сравнению с тем, когда при представлении данной информации используются другие системы счисления. Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием.
   Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в XIX–XX веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе – в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» – комбинации коротких и длинных звонков.
   Самюэл Морзе в 1838 г. изобрел код – телеграфную азбуку – систему кодировки символов короткими и длинными посылками для передачи их по линиям связи, известную как «код Морзе». Современный вариант международного «кода Морзе» (International Morse) появился совсем недавно – в 1939 году, когда была проведена последняя корректировка.
   Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.
   Перевод чисел из одной системы счисления в другуюНаиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления?
   Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
   Х2= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2·2n-3 +…+А2·21 + А1·20
   При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
   n(степень)
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
   10
   2n
   1
   2
   4
   8
   16
   32
   64
   128
   256
   512
   1024
   Пример: Число 111010002 перевести в десятичную систему счисления:
   111010002= 1·27 + 1·26 + 1·25 +0·24 + 1·23+0·22+0·21+0·20=23210
   Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
   Х8= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2·8n-3 +…+А2·81 + А1·80
   При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
   n(степень)
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   8n
   1
   8
   64
   512
   4096
   32768
   262144
   Пример: Число 750138 перевести в десятичную систему счисления:
   750138= 7·84 + 5·83+ 0·82 +1·81 + 3·80=3124310
   Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
   Х16= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2·16n-3 +…+А2·161 + А1·160
   При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:
   n(степень)
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   16n
   1
   16
   256
   4096
   65536
   1048576
   16777216
   Пример: Число FDA116  перевести в десятичную систему счисления:
   FDA116= 15·163 + 13·162 + 10·161 +1·160=6492910
   Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
   Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления:
   2210=101102
   Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
   Пример: Число57110 перевести в восьмеричную систему счисления.
   57110=10738
   Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
   Пример: Число746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
   746710=1D2B16
   Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:
   2-ная
   000
   001
   010
   011
   100
   101
   110
   111
   8-ная
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   Пример: Число 1001011 перевести в восьмеричную систему счисления:      001   001   0112=1138
   Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-шестнадцатеричной таблицей:
   2-ная
   0000
   0001
   0010
   0011
   0100
   0101
   0110
   0111
   16-ная
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   2-ная
   1000
   1001
   1010
   1011
   1100
   1101
   1110
   1111
   16-ная
   8
   9
   A
   B
   C
   D
   E
   F
   Пример: Число 1011100011 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:
   0010   1110   00112=2E316
   Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.
   Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления:
   5318=101  011  0012
   Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.
   Пример: Число ЕЕ816  перевести в двоичную систему счисления:
   ЕЕ816=1110111010002
   При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.
   Пример 1: Число FEA16  перевести в восьмеричную систему счисления:
   FEA16=1111111010102=111  111  101  0102=77528
   Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:
   66358=1101100111012=1101  1001  11012=D9D16
   Таблица соответствия натуральных чисел
   Десятичная
   Двоичная
   Восьмеричная
   Шестнадцатеричная
   1
   001
   1
   1
   2
   010
   2
   2
   3
   011
   3
   3
   4
   100
   4
   4
   5
   101
   5
   5
   6
   110
   6
   6
   7
   111
   7
   7
   8
   1000
   10
   8
   9
   1001
   11
   9
   10
   1010
   12
   A
   11
   1011
   13
   B
   12
   1100
   14
   C
   13
   1101
   15
   D
   14
   1110
   16
   E
   15
   1111
   17
   F
   16
   10000
   20
   10
   ЗаключениеИнтуитивное представление о числе, так же старо, как и само человечество. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными.
   Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел. Хорошо известно, что первой из известных систем счисления, основанных на позиционном принципе, была вавилонская 60-ричная система счисления, возникшая в Древнем Вавилоне примерно во 2-м тысячелетии до новой эры.
   Мы используем для повседневных вычислений десятичную систему счисления. Хорошо известно, что предшественницей десятичной системы счисления является Индусская десятичная система, возникшая примерно в 8-м столетии нашей эры. Известный французский математик Лаплас (1749-1827) выразил свое восхищение позиционным принципом и десятичной системой в следующих словах:
   “Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой”.
   Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в своем сочинении “Liber abaci” (1202) выступил убежденным сторонником новой нумерации. Он писал:
   “Девять индусских знаков – суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски “zephirum”, можно написать какое угодно число”.
   Современные компьютеры основываются на “двоичной” системе счисления.
   Нужно признать важность не только самой распространенной системы, которой мы пользуемся ежедневно. Но и каждой по отдельности. Ведь в разных областях используются разные системы счисления, со своими особенностями и характерными свойствами.
   Список использованной литературы
   Шауцукова Л.З. «Основы информатики в вопросах и ответах», Издательский центр «Эльфа», Нальчик, 1994.
   Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004.
   Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.
   Информатика. Компьютерная техника. Компьютерные технологии.  Пособие под ред. О.И.Пушкаря.- Издательский центр “Академия”, Киев, 2001 г.
   Касаткин В.Н. Введение в кибернетику. Радянська школа. Киев, 1976 г.
   Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964 г.

2. Оглавление
   [1]
   1.История систем счисления
   [2]
   2.Двоичная система счисления.
   [3]
   3.Восьмеричная система счисления
   [4]
   3.Шестнадцатеричная система счисления
   [5]
   Заключение
   [6]
   Список рисунков
   [7]
   Список таблиц
   [8]
   Формулы
   [9]
   Список литературы и источников
   [10]
   Предметный указатель
   [11]
   Приложения
   Введение
   Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине
   подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. Они с нами везде.
   Понятие числа – фундаментальное понятие как математики, так и информатики. Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?
   Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.
   Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и “вносит” в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и “вносит” в величину числа 300.
   Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.
   Позиционные системы счисления – результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
   1.История систем счисления
   Единичная система счисления
   Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой – либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие “записи” при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 – 11 тысяч лет до н.э.).
   Учёные назвали этот способ записи чисел единичной (“палочной”) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков – “палочка”. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.
   Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.
   Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.[1]
   Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления
   В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.[3]
   Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:
   Рисунок 1 Запись числа древнеегипетской системой счисления
   Обозначение цифр в непозиционной древнеегипетской системе счисления:
   Рисунок 2 Единица
   Рисунок 3 Десятки
   Рисунок 4 Сотни
   Рисунок 5 Тысячи
   Рисунок 6 Десятки тысяч
   Рисунок 7 Сотни тысяч
   В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.[2]
   Вавилонская(шестидесятеричная) система счисления
   Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин (рисунок 8) служил для обозначения единиц, лежачий клин (рисунок 9) – для обозначения десятков.
   Рисунок 8 Прямой клин
   Рисунок 9 Лежачий клин
   Таким образом, число 32 записывали так:
   Рисунок 10 Запись числа 32 на вавилонской шестидесятеричной системе счисления
   Число 60 снова обозначалось тем же знаком(рисунок 8) , что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 602, 216000 = 603 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
   Для определения значения числа нужно было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков (“цифр”) соответствовало чередованию разрядов:
   Рисунок 11 Разбивание на разряды числа
   Значение числа определяли по значениям составляющих его “цифр”, но с учетом того, что “цифры” в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же “цифр” в предыдущем разряде.[5]
   Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом – в позиционной системе с основанием 60.
   Запись числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало “цифры” для обозначения нуля. Запись числа 92, могла обозначать не только 92 = 60 + 32, но и 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 и т.д. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ (рисунок 12) для обозначения, пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует в привычной нам десятичной системе появлению цифры 0 в записи числа. Но в конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании.
   Рисунок 12 Символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда
   Таким образом, число 3632 теперь нужно было записывать так:
   Рисунок 13 Запись числа 3632
   Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.
   Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно также же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).[4]
   Римская система счисления
   Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить системы счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.
   В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.
   Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 ? вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:
   Рисунок 14 Трансформация числа 100
   Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum ? сто, Demimille ? половина тысячи, Mille ? тысяча).
   Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило.
   Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.
   Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI ? число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:
   XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.
   Десятичное число 99 имеет такое представление:
   Рисунок 15 Число 99
   То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами:
   MCMXCV = 1000 + (1000 – 100) + (100 -10) + 5,
   MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5
   MVM = 1000 + (1000 – 5),
   MDVD = 1000 + 500 + (500 – 5) и так далее.
   Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта.
   В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблицы, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:
   Единицы
   Десятки
   Сотни
   Тысячи
   1 I
   10 X
   100 C
   1000 M
   2 II
   20 XX
   200 CC
   2000 MM
   3 III
   30 XXX
   300 CCC
   3000 MMM
   4 IV
   40 XL
   400 CD
   5 V
   50 L
   500 D
   6 VI
   60 LX
   600 DC
   7 VII
   70 LXX
   700 DCC
   8 VIII
   80 LXXX
   800 DCCC
   9 IX
   90 XC
   900 CM
   Таблица 1 Таблица римских цифр
   Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).[6]
   В настоящее время римская система счисления не применяется, за некоторыми исключениями:
   Обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975).
   Обозначение порядковых числительных.
   Обозначение производных небольших порядков, больших трёх: yIV, yV и т.д.
   Обозначение валентности химических элементов.[7]
   Славянская система счисления
   Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.
   Единицы
   Десятки
   Сотни
   1
   10
   100
   2
   20
   200
   3
   30
   300
   4
   40
   400
   5
   50
   500
   6
   60
   600
   7
   70
   700
   8
   80
   800
   9
   90
   900
   Таблица 2 Славянская система счисления
   Если посмотреть внимательно, то увидим, что после “а” идет буква “в”, а не “б” как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор в православных церковных книгах используется эта нумерация.[8]
   Система счисления майя
   Эта система использовалась для календарных расчетов. В быту майя использовали непозиционную систему сходную с древнеегипетской. Об этой системе дают представление сами цифры майя, которые можно трактовать как запись первых 19 натуральных чисел в пятеричной непозиционной системе счисления. Аналогичный принцип составных цифр использован в вавилонской шестидесятеричной системе счисления.
   Цифры майя состояли из нуля (знак ракушки) и 19 составных цифр. Эти цифры конструировались из знака единицы (точка) и знака пятёрки (горизонтальная черта). Например, цифра, обозначающая число 19, писалась как четыре точки в горизонтальном ряду над тремя горизонтальными линиями. [9]
   Рисунок 16 Система счисления майя
   Числа свыше 19 писались согласно позиционному принципу снизу вверх по степеням 20. Например:
   32 писалось как (1)(12) = 1?20 + 12
   429 как (1)(1)(9) = 1?400 + 1?20 + 9
   4805 как (12)(0)(5) = 12?400 + 0?20 + 5
   Для записи цифр от 1 до 19 иногда также использовались изображения божеств. Такие цифры использовались крайне редко, сохранившись лишь на нескольких монументальных стелах. [11]
   Позиционная система счисления требует использования нуля для обозначения пустых разрядов. Первая дошедшая до нас дата с нулём (на стеле 2 в Чиапа-де Корсо, Чиапас) датирована 36 годом до н. э. Первая позиционная система счисления в Евразии, созданная в древнем Вавилоне за 2000 лет до н. э., первоначально нуля не имела, а впоследствии знак нуля использовался только в промежуточных разрядах числа, что приводило к неоднозначной записи чисел. Непозиционные системы счисления древних народов нуля, как правило, не имели.[10]
   В «долгом счёте» календаря майя была использована разновидность 20-ричной системы счисления, в которой второй разряд мог содержать только цифры от 0 до 17, после чего к третьему разряду добавлялась единица. Таким образом, единица третьего разряда означала не 400, а 18?20 = 360, что близко к числу дней в солнечном году.
   История арабских чисел
   Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название “арабская” для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации – Индия.
   В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите, использующем алфавит “Деванагари”.
   Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак – жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация “Деванагари” превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход – до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.[12]
   Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее “арабской”. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.
   Из арабского языка заимствовано и слово “цифра” (по-арабски “сыфр”), означающее буквально “пустое место” (перевод санскритского слова “сунья”, имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин “нуль” (nullum – ничто).
   Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.[13]
   История нуля
   Нуль бывает разный. Во-первых, нуль ? это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль ? это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?
   Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.
   Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.
   На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н.э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: “количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью”.
   Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении “Liber abaci” (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum ? это арабское слово as-sifr, которое произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке.
   Нуль – это уникальный знак. Нуль ? это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все![15]
   Недостатки непозиционной системы счисления
   Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
   1.Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
   2.Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
   3.Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак ? что-то наподобие наших счетов.
   Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.[19]
   2.Двоичная система счисления.
   В этой системе всего две цифры – 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра – число двоек, следующая – число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число – представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.[14]
   История двоичной системы счисления
   В основу поисков инженеры и математики положили двоичную двухпозиционную – природу элементов вычислительной техники.
   Возьмите, к примеру, двухполюсный электронный прибор – диод. Он может находиться только в двух состояниях: или проводит электрический ток – «открыт», или не проводит его – «заперт». А триггер? Он тоже имеет два устойчивых состояния. По такому же принципу работают запоминающие элементы.
   Почему же не использовать тогда двоичную систему счисления? Ведь в ней только две цифры: 0 и 1. А это удобно для работы на электронной машине. И новые машины стали считать с помощью 0 и 1.
   Не думайте, что двоичная система – современница электронных машин. Нет, она намного старше. Двоичным счислением люди интересуются давно. Особенно им увлекались с конца XVI до начала XIX века.
   Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «вычисление с помощью двоек … является для науки основным и порождает новые открытия … При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».
   По просьбе ученого в честь «диадической системы» – так тогда называли двоичную систему – была выбита медаль. На ней изображалась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».[16]
   Формула 1 Количество информации в битах
   Перевод из двоичной в десятичную систему счисления
   Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо обработанных компьютером значений в более понятные пользователю десятичные цифры. Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения):
   Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.
   Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:
   101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210 [21]
   В электронике устройство, осуществляющее похожее преобразование, называется дешифратором(декодером, англ. decoder).
   Дешифратор ? это схема преобразующая двоичный код, подаваемый на входы, в сигнал на одном из выходов, то есть дешифратор расшифровывает число в двоичном коде, представляя его логической единицей на выходе, номер которого соответствует десятичному числу.[22]
   Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления
   Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.
   Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.
   Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.[20]
   Шестнад-
   теричное
   число
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
   A
   B
   C
   D
   E
   F
   Двоичная
   тетрада
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   Таблица 3 Таблица шестнадцатеричных цифр и двоичных тетрад
   Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления
   Перевести двоичное число в восьмеричную систему достаточно просто, для этого нужно:
   Разбить двоичное число на триады (группы из 3-х двоичных цифр), начиная с младших разрядов. Если в последней триаде (старшие разряды) будет меньше трех цифр, то дополним ее до трех нулями слева.
   Под каждой триадой двоичного числа записать соответствующую ей цифру восьмеричного числа из следующей таблицы.[23]
   Восьмеричное
   число
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   Двоичная триада
   000
   001
   010
   011
   100
   101
   110
   111
   Таблица 4 Таблица восьмеричных чисел и двоичных триад
   3.Восьмеричная система счисления
   Восьмеричная система счисления ? это позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе используется 8 цифр от нуля до семи (0,1,2,3,4,5,6,7).
   Применение: восьмеричная система наряду с двоичной и шестнадцатеричной используется в цифровой электронике и компьютерной технике, однако в настоящее время применяется редко (ранее использовалась в низкоуровневом программировании, вытеснена шестнадцатеричной).[17]
   Широкое применение восьмеричной системы в электронной вычислительной технике объясняется тем, что для нее характерен легкий перевод в двоичную и обратно с помощью простой таблицы, в которой все цифры восьмеричной системы от 0 до 7 представлены в виде двоичных триплетов (Таблица 4).
   История восьмеричной системы счисления
   История: возникновение восьмеричной системы связывают с такой техникой счета на пальцах, когда считались не пальцы, а промежутки между ними (их всего восемь).
   В 1716 году король Швеции Карл XII предложил известному шведскому философу Эмануэлю Сведенборгу разработать числовую систему, основанную на 64 вместо 10. Однако Сведенборг считал, что для людей с меньшим интеллектом, чем король, оперировать такой системой счисления будет слишком трудно и предложил в качестве основания число 8. Система была разработана, но смерть Карла XII в 1718 году помешала ввести ее как общепринятую, данная работа Сведенборга не опубликована.[18]
   Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления
   Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания восьмеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах восьмеричного числа. [24]
   Например, требуется перевести восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:
   23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310
   Перевод из восьмеричной в двоичную систему счисления
   Для перевода из восьмеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр триаду(Таблица 4).
   Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления
   Для перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр тетраду (Таблица 3).[25]
   3.Шестнадцатеричная система счисления
   Позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.
   Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).[26]
   Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.
   В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости ? с ведущими нулями).
   Шестнадцатеричный цвет ? запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.[27]
   История шестнадцатеричной системы счисления
   Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit ? binary digit ? двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16.[28]
   Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления
   Алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления двоичную крайне прост. Необходимо только заменить каждую цифру шестнадцатеричного числа ее эквивалентом в двоичной системе счисления (в случае положительных чисел). Отметим только, что каждое шестнадцатеричное число следует заменять двоичным, дополняя его до 4 разрядов (в сторону старших разрядов).[29]
   Перевод из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления
   Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.
   Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:
   F45ED23C16 = (15·167)+(4·166)+(5·165)+(14·164)+(13·163)+(2·162)+(3·161)+(12·160) = 409985490810
   Перевод из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления
   Обычно при переводе чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления вначале шестнадцатеричное число переводят в двоичное, затем разбивают его на триады, начиная с младшего бита, а потом заменяют триады соответствующими им эквивалентами в восьмеричной системе(Таблица 4).[30]
   Заключение
   Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, “по-арабски”.
   Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.
   Но тем не менее числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буквы, другие – значки, третьи – закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.
   На данный момент мы используем разные системы счисления разных народов, не смотря на то, что десятичная система счисления имеет ряд преимуществ перед остальными.
   Вавилонская шестидесятеричная система счисления до сих используется в астрономии. Ее след сохранился до наших дней. Мы до сих пор измеряем время в шестидесяти секундах, в часах шестьдесят минут, также она применяется в геометрии для измерения углов.
   Римская непозиционная система счисления используется нами для обозначения параграфов, разделов и в конечно же в химии.
   В компьютерных технологиях используется двоичная система. Именно из-за использования всего двух чисел 0 и 1 она лежит в основе работы компьютера, так как у него два устойчивых состояния: низкое или высокое напряжение, есть ток или нет тока, намагничено или не намагничено.Для людей двоичная система счисления не удобна из-за громоздкости записи кода, но переводить числа из двоичную систему в десятичную и обратно не так уж и удобно, поэтому стали использовать восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
   Список рисунков
   Список таблиц
   Формулы
   Список литературы и источников
   Берман Н.Г. “Счет и число”. ОГИЗ Гостехиздат Москва 1947 год.
   Бругш Г. Все о Египте? М:. Ассоциация Духовного Единения «Золотой Век», 2000. ? 627 с.
   Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире ? М.: Наука, 1967.
   Ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. ? М., 1959. ? 456 с.
   Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964, 376 с.
   Босова Л. Л. Информатика: Учебник для 6 класса
   Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 2010
   Всевозможные нумерации и системы счисления (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
   Математический энциклопедический словарь. ? М.: «Сов. энциклопедия », 1988. ? С. 847
   Талах В.Н., Куприенко С.А. Америка первоначальная. Источники по истории майя, наука (астеков) и инков
   Талах В.М. Введение в иероглифическую письменность Майя
   А.П.Юшкевич, История математики, Том 1, 1970
   И. Я. Депман, История арифметики, 1965
   Л.З.Шауцукова, “Основы информатики в вопросах и ответах”, Издательский центр “Эль-Фа”, Нальчик, 1994
   А.Костинский, В.Губайловский, Триединый нуль (http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
   2007-2014 “История компьютера” (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
   Информатика. Базовый курс. / Под ред. С.В.Симоновича. – Спб., 2000 г.
   Зарецкая И.Т., Колодяжный Б.Г., Гуржий А.Н., Соколов А.Ю. Информатика:Учебное пособие для 10 ? 11 кл. средних общеобразовательных школ. ? К.: Форум, 2001. ? 496 с.
   ГлавСправ 2009?2014(http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
   Информатика. Компьютерная техника. Компьютерные технологии. / Пособие под ред. О.И.Пушкаря.- Издательский центр “Академия”, Киев, – 2001 г.
   Учебное пособие «Арифметические основы ЭВМ и систем». Часть 1. Системы счисления
   О.Ефимова, В.Морозова, Н.Угринович «Курс компьютерной технологии»учебное пособие для старших классов
   Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы.- М.:Энергоатомиздат, 1985
   Майоров С.А., Кириллов В.В., Приблуда А.А., Введение в микроЭВМ, Л.: Машиностроение, 1988.
   Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987
   Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
   Математическая энциклопедия. М: “Советская энциклопедия” 1985г.
   Шауман А. М. Основы машинной арифметики. Ленинград, Издательство Ленинградского университета. 1979г.
   Ворощук А. Н. Основы ЦВМ и программирования. М:”Наука” 1978г.
   Ролич Ч. Н. ? От 2 до 16, Минск, «Высшая школа», 1981г.
   Предметный указатель
   Приложения

3. РЕФЕРАТ
   по дисциплине «Культурология»
   по теме: «Система счисления»
   СОДЕРЖАНИЕ
   ВВЕДЕНИЕ
   1. Сущность различных систем счисления
   2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
   ЗАКЛЮЧЕНИЕ
   ЛИТЕРАТУРА
   ВВЕДЕНИЕ
   В повседневной жизни мы, как правило, пользуемся десятичной системой счисления. Но это лишь одна из многих систем, которая получила свое распространение, вероятно, по той причине, что у человека на руках 10 пальцев. Однако эта система не всегда удобна. Так, в вычислительной технике применяется двоичная система счисления.
   В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).
   В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).
   У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система.
   В данной работе будут рассмотрены различные системы счисления.
   1. СУЩНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
   Вначале проанализируем различия между цифрами и числами: число это абстрагированная от конкретики запись количества (например, число 25 это двадцать пять предметов чего угодно и не только предметов, а, скажем, лет или килограммов), а цифра это специальный знак для обозначения количества единиц. Следует обратить внимание, что цифры это тоже записи чисел, например 8 это не только цифра, но и число.
   Слово «цифра» происходит от позднелатинского слова «cifra», первые цифры появились у египтян и вавилонян, причем интересно, что цифры, как специальные знаки, образовались позже, чем буквы. Так, многие народы (греки, финикияне, евреи, сирийцы) для цифр использовали буквы алфавита, в России аналогичная система применялась вплоть до XVI века. Современные так называемые «арабские цифры» имеют неясное происхождение, например, утверждают, что они принесены в Европу арабами в XIII веке возможно из Индии. Повсеместно их стали использовать с XV века.
   Число это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики; оно появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем, абстрагировавшись, стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… и т. д. Для наших целей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В частности, задачи измерения площадей привели к понятию рационального (дробного) числа, затем появились отрицательные числа, необходимость в вычислении отношения диагонали квадрата к его стороне привела к открытию иррациональных чисел, рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел и т. д. И лишь в XIX веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.
   Известно, что числовая ось бесконечна, поскольку к каждому числу можно прибавить еще единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом понятно, что придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально.
   Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольких систем счисления.
   Счисление (система счисления) это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу.
   В этом определении стоит выделить следующие важные моменты.
   · Количество знаков, которые обычно именуются «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (обычно мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например 23 456 или 1 000 123 456 789.
   · Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется «позиционным».
   Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом.
   Другими словами, значение цифры «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе «одиннадцать» («11») две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям «единиц» «111», «1111», «11 111» и т. д.
   Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи, в истории человечества были и иные эксперименты.
   Способ записи чисел с помощью римских цифр не грешит единообразием: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например число «XI» означает «одиннадцать», а если слева, то значение вычитается, например число «IX», состоящее из тех же цифр, уже означает только «девять». Кроме того, в римской системе счисления в числе вес цифры X в любой позиции равен просто десяти, например число XXXII (тридцать два). И, наконец, цифры разбросаны по оси чисел.
   В нашу современную жизнь многое пришло из Рима, в том числе римское право, латынь в медицине и фармакологии. Однако римская система счисления не прижилась, потому что она отличается указанной выше сложностью, которая препятствует технологичности: скажем, римские числа трудно складывать или умножать, не говоря уже о более сложных функциях.
   Существует не одно множество цифр, образующих систему счисления. Это множество получило особое название основание системы счисления.
   Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.
   Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа.
   Наиболее привычной для нас является десятичная система счисления. Исторически вначале, видимо, использовалась непозиционная единичная система счета с помощью камней или палочек. Система счета состояла из двух чисел один и два, а все, что больше двух, обозначалось, как «много».
   Затем, благодаря наличию десяти пальцев рук у человека, возникла десятичная система счета. В этой системе используются специальные графические знаки арабские цифры, которые можно записать в следующем порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таких знаков десять, и они специально разделены запятыми, чтобы показать, что это отдельные («дискретные») знаки, которые не зависят друг от друга.
   Идея позиционной системы счисления выдвигалась еще Архимедом в работе «Исчисление песка».
   В разное время и у разных народов использовались системы счисления с различными основаниями:

   · в Древнем Вавилоне шестидесятиричная система (используемая и сейчас при измерении времени);

   · в Германии и Великобритании двенадцатеричная (при измерении количества, в денежных системах), у древних адыгов двадцатеричная и т. д.;

   · неколичественные (качество выступает в роли количества: «много», «мало» и т. д.) способы счета например, у эскимосов.

   Рассмотрим основные системы счисления, помимо десятичной.
   В двоичной системе счисления основание равно двум. В этой системе счисления используются всего два знака, две цифры «0» и «1».
   Такая система получила название двоичной системы счисления. Ее еще называют бинарной, от английского слова «binary», что, собственно, и переводится как «двоичный». В таблице 1 представлено соответствие десятичных и двоичных чисел.
   Таблица 1. Соответствие десятичных и двоичных чисел

4. Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко
   Рыбницкий филиал
   Кафедра физики, математики и информатики
   Курсовая работа
   по дисциплине «Теоретические основы информатики»
   на тему: «Системы счисления и их применение в различных областях»
   Рыбница
   ВВЕДЕНИЕ
   Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: запоминает номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет свой семейный бюджет в рублях и копейках и т.д. Числа и цифры с нами везде! Интересно, что знал человек о числах две тысячи лет назад? А пять тысяч лет назад?
   Историки доказали, что и пять тысяч лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия. При этом записывали они числа совершенно по другим принципам, нежели мы в настоящее время. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов. В математике и информатике приняты символы, участвующие в записи числа, называть цифрами.
   Что же понимается под словом «число»?
   Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности.
   Появление дробных чисел было связано с необходимостью производить измерения (сравнения с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона). Но поскольку единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине, то возникла практическая потребность, ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.
   Понятие числа – фундаментальное понятие, как математики, так и информатики. Под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.
   Сегодня человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления. Что же такое – система счисления? Это мы узнаем в ходе изучения материала и в решении различного рода задач.
   Данную тему мы выбрали, потому что нам стало любопытно, кто стоит у истоков двоичной системы счисления, как давно и где ее начали применять, почему двоичная система счисления сохранилась до наших дней.
   Перед собой поставили -следующую цель: узнать, для чего нужна двоичная система счисления.
   Для достижения поставленной цели сформулировали следующие задачи: изучить литературу о различных системах счисления, почему в ЭВМ информация представляется в двоичной системе счисления и чем она удобна, где еще используется двоичная система счисления.
   Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Люди всегда считали и записывали числа, даже 5 тысяч лет назад. Но записывали их по другим правилам, хотя в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые назывались цифрами.
   Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр – от 0 до 9. Это десятичная система счисления.
   Системой счисления будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.
   Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Древнее написание десятичных цифр (см. рис. 1):
   Рис. 1 – Написание цифр в древности
   Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12 (см. Приложение, рис. 1).
   По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидная связь этой системы счисления со строением человеческой руки.
   У ацтеков и майя – народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная система счисления. Также двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой системе счисления составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20 (1 франк = 20 су).
   Особый интерес представляет так называемая «вавилонская», или шестидесятеричная, система счисления (см. Приложение, рис. 2), весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной, другое – десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минут, 1 градус = 60минут. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.
   Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Специалисты выделили так называемую «машинную» группу систем счисления. И разработали способы преобразования чисел этой группы.
   Цель исследования: выявить и систематизировать материалы по теме курсовой работы: «Системы счисления и их применение в различных областях».
   Задачи исследования:
   изучить литературу по теме исследования;
   систематизировать теоретический материал;
   рассмотреть практические применения теоретического материала.
   Объектом исследования является: различные системы счисления.
   Предметом исследования – перевод чисел в различные системы счисления.
   ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
   .1 История возникновения различных систем счисления
   Первобытному человеку считать почти не приходилось. “Один”, “два” и “много” – вот все его числа. Современным людям приходится иметь дело с числами буквально на каждом шагу. Нужно уметь правильно назвать и записать любое число, как бы велико оно ни было. Если бы каждое число называлось особым именем и обозначалось в письме особым знаком, то запомнить все эти слова и знаки было бы никому не под силу. Как же справиться с этой задачей? Нас выручает хорошая система обозначений.
   Совокупность немногих названий и знаков, позволяющих записать любое число и дать ему имя, называется системой счисления или нумерацией.
   Практически на всем земном шаре алфавитом в языке чисел служат 10 цифр, от 0 до 9. Девять из них используются для обозначения первых девяти натуральных чисел, а десятый – нуль – не обозначает никакого числа, он представляет собой так называемую “позиционную пробку”. Этот язык называется десятичной системой счисления.
   Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой. С точки зрения чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.
   В последнее время с десятичной системой серьезно конкурируют двоичная и, отчасти, троичная системы, которыми “предпочитают” пользоваться современные вычислительные машины.
   Как люди считали и как называли числа до изобретения письменности, никто точно не знает. Об этом можно только догадываться. Несомненно, одно: человечество овладевало счетом очень медленно. Однако ко времени изобретения письменности люди уже умели неплохо считать.
   Четыре тысячи лет назад наиболее развитые народы (египтяне, халдеи) умели писать и пользоваться не только целыми, но и простейшими дробными числами. Более того, тогда уже существовали школы, в которых обучали искусству счета.
   В первобытном письме букв не было. Каждая вещь, каждое действие изображалось картинкой. Постепенно картинки упрощались. Наряду с изображением предметов и действий появились особые фигуры, обозначающие различные свойства вещей, а так же значки для слов, соответствующих нашим предлогам и союзам.
   Так возникла письменность, называемая иероглифами; при иероглифической записи каждому значку соответствует не звук, как у нас, а целое слово.
   Специальных знаков (цифр) для записи чисел тогда не было. Но словам “один”, “два”, … “семнадцать” и так далее соответствовали определенные иероглифы. Их было не так уж много, так как больших чисел люди тогда не знали.
   В некоторых странах (например, Китае и Японии) иероглифическое письмо сохранилось и до наших дней. Вот, для примера (см. рис. 2), несколько иероглифов:
   Рис. 2 – Иероглифы
   У славян порядок цифр при записи числа был такой же, как в его устном названии. Говорят, например, “пятнадцать” (по-славянски – “пять на десять”), называя вперед цифру единиц, потом десяток. Славяне так и писали, то есть впереди писали пятерку, а за нею десяток. Наоборот, в числе “двадцать три” сначала называют десятки, потом единицы, у славян сначала три потом двадцать это отображалось в письме.
   Чтобы отличить числа от букв, над ними ставили особый значок – титло. Оно ставилось только над одной из цифр. Место цифры, ее положение в записи числа не имело значения.
   С помощью этих знаков легко записывались большие числа. Знак титло обозначал тысячи. С помощью повторения этого знака можно было записывать очень большие числа
   Числа до тысячи в Древней Руси назывались почти так же, как сейчас. Существовала небольшая разница в произношении (например, “один” называли “един” и тому подобное). Десять тысяч называлось “тьма”, и число это считалось столь огромным, что тем же словом обозначалось всякое, не поддающееся учету множество.
   В более позднее время (XVI – XVII вв.) появилась своеобразная система наименования чисел, так называемое “великое славянское число”, в этой системе числа до 999999 назывались почти так же, как теперь. Слово “тьма” обозначает уже миллион. Кроме того, появляются следующие названия: “тьма тем”, или “легион” (то есть миллион миллионов, или триллион, равен 10); “легион легионов”, или “модр” (септиллион, 1024); наконец, “модр модров”, или “ворон” (то есть 1048).
   Позиционная нумерация возникла, по-видимому, в древнем Вавилоне (примерно четыре тысячи лет назад). О ней будет сказано чуть позднее. В Индии она приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля. У индусов эту систему чисел заимствовали арабы, ставшие в VIII – IX вв. одним из самых культурных народов мира. От арабов переняли ее европейцы (отсюда название – “арабские цифры”).
   Особый интерес представляет вавилонская математика. Вавилонская нумерация просуществовала полторы тысячи лет (с XVIII до III в. до нашей эры) и пользовалась широким распространением на всем Ближнем Востоке. Она оказала влияние на китайскую, индийскую и греческую математику.
   Вавилоняне писали палочками на пластинках из мягкой глины и обжигали потом свои “рукописи”. Получались прочные кирпичные “документы”, частично уцелевшие до нашего времени, их нередко находят при раскопках в Месопотамии (теперь Ирак). Поэтому изучить вавилонскую историю и математику в частности удалось довольно хорошо.
   На рубеже XIX – XVIII вв. до нашей эры произошло слияние двух народов: сумерийцев и аккадян. Каждый из этих народов имели достаточно развитую торговлю, весовые и денежные единицы, однако разработанной нумерации ни один из этих народов не имел.
   У аккадян основная единица – “мекель” – была примерно в 60 раз меньше единицы у сумерийцев – “мины” (примерно пол килограмма). Денежной единицей служила мина серебра.
   После слияния этих народов “имели хождение” обе системы единиц: минами и мекелями пользовались так, как теперь пользуются килограммами и граммами (рублями и копейками) с той лишь разницей, что более крупная единица равнялась не 100, а 60 мелким единицам. Со временем появилась более крупная единица – “талант”: 1 талант = 60 мин, 1 мина = 60 мекелей.
   Как же вавилоняне записывали числа? Они писали палочками, вдавливая их в глину, поэтому основными графическими элементами были у них клинья. Первый обозначал единицы, второй – десятки, смотри рис. 3.
   Рис. 3 – Обозначение чисел в древности
   Эти знаки очень наглядны, количество клинышков бросается в глаза, так что пересчитывать их не приходится. Но клинописное письмо очень неудобно для оценки величины промежутков между числами, а необходимость переписывать все от руки приводила к частым опискам. Знак разделения был необходим, и он появился. Начиная с некоторого времени, на вавилонских кирпичиках появляется значок ^, соответствующий нашему нулю.
   Однако, введя “позиционную пробку” в середине чисел, вавилоняне так и не додумались ставить ее на конце. И до самого падения вавилонской культуры числа 1, 60, 3000 записывались одинаково.
   Только индусы, заимствовавшие у них позиционную нумерацию, научились правильно использовать знак нуля, и, введя вместо 60 основание 10, дали счислению его современную форму.
   Три тысячи лет назад индусы уже пользовались современной нумерацией, хотя в памятниках того времени и не упоминаются числа, большие 100000. В более поздних источниках встречаются значительно большие числа – до ста квадриллионов (1017). В одной из сравнительно молодых легенд о Будде говорится, что он знал названия чисел до 1054. Впрочем, индусы, по – видимому, не представляли себе бесконечности натурального ряда, они полагали, что существует какое-то наибольшее число, известное только богам.
   Доказательство бесконечности числового ряда – заслуга древнегреческих ученых.

5. РАБОТА ПО

   ИНФОРМАТИКЕ

   ТЕМА «Позиционные системы счисления»

   Ученицы
   11 класса «А»
   Калашниковой Анны

   МОСКВА 2004 год

   План
   1) Арифметические основы построения ЭВМ
   2) Непозиционные и позиционные системы счисления
   3) Непозиционные системы счисления
   4) Позиционные системы счисления
   5) Системы счисления
   6) Десятичная система счисления
   7) Двоичная система счисления
   8) Восьмеричная система счисления
   9) Шестнадцатиричная система счисления
   10) Перевод из одной системы счисления в другую
   11) Перевод целых чисел
   12) Перевод правильных дробей
   13) Правила перевода из системы счисления в систему счисления
   14) Представление чисел в различных системах счисления
   15) Вопросы и задачи. Ответы и решения.
   16) Средства процессора Word, используемые в данной работе.
   17) Список литературы.
   Арифметические основы построения ЭВМ
   Непозиционные и позиционные системы счисления
   Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1, а2, а3,…., аn. При этом каждой цифре аi в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.
   Непозиционные системы счисления
   В ней количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различных целых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985. Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкая запись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.
   Позиционные системы счисления
   В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.
   Системы счисления
   Десятичная система счисления.
   Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различных целых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита данной системы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т.е.
   N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 * 100 + a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.
   Двоичная система счисления.
   В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.
   Восьмеричная система счисления.
   В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.
   Шестнадцатиричная система счисления.
   Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.
   Перевод из одной системы счисления в другую
   Перевод целых чисел
   Для перевода целых чисел из одной системы счисления с основанием S в другую с основанием S1 надо это число последовательно делить на основание S1 новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше S1. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частое дает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют в исходной системе счисления. Например:
   37710=1011110012
   Перевод правильных дробей
   Для перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится, перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого. Например:
   0,6875 0,67510=0,100112
   * 2
   1,3750
   * 2
   0,7500
   * 2
   1,5000
   * 2
   1,0000
   При переводе неправильных десятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.
   Правила перевода из системы счисления в систему счисления
   1) Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:
   А) Старшую цифру исходного числа умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа
   Б)Результат опять умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа
   В) Процесс перевода заканчивается после прибавления последней самой младшей цифры исходного числа
   2) Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимо делить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор пока последнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат складывается из остатков деления, начиная с последнего.
   3) Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходное число перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением), полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу (деление).
   4) Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойки необходимо:
   А) из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа в двоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-х разрядным двоичным значением.
   Б) из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числа необходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением.
   Представление чисел в различных системах счисления
   Системы счислений
   Десятичная
   Двоичная
   Восьмеричная
   Шестнадцатиричная
   1
   1
   1
   1
   2
   10
   2
   2
   3
   11
   3
   3
   4
   100
   4
   4
   5
   101
   5
   5
   6
   110
   6
   6
   7
   111
   7
   7
   8
   1000
   10
   8
   9
   1001
   11
   9
   10
   1010
   12
   А
   11
   1011
   13
   В
   12
   1100
   14
   С
   13
   1101
   15
   D
   14
   1110
   16
   E
   15
   1111
   17
   F
   Вопросы и задачи. Ответы и решения
   1) Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.
   2) Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?
   3) Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.
   4) Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.
   5) Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.
   6) Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.
   7) 2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: 0000012; 1000011111,01012; 1216,048; 29A,516
   8) Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 46410; б) 380,187510; в) 115,9410
   · 10000012 =1? 26 +0? 25 +0? 24 +0? 23 +0? 22 + 0? 21 +1? 20= 64+1=6510.
   · 1000011111,01012 =1?29 + 1?24 + 1?23 + 1?22 + 1?21 + 1?20+ 1?2-2 + 1?2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510 .
   · 1216,048 =1?83 +2?82 +1?81 +6?80+4? 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,062510 .
   · 29A,516 = 2?162 +9?161 +10?160+5?16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,312510 .
   · а) 46410 » 1110100002; б) 380,187510 » 101111100,00112; в) 115,9410 » 1110011,11110(2)
   Средства процессора Word, используемые в данной работе.
   · Главным средством процессора Word, использованный в этой работе, является форматирование текста. Основной текст расположен «по ширине», заголовки – выравнивание «по центру», остальные части текста – «по левому краю» или «по правому краю».
   · В данной работе было применено форматирование абзацев, изменение шрифтов и стилей, использование списков и использование границ.
   · Также в тексте присутствует таблица, созданная в программе Excel, а затем копированная в данный текст. Этот способ более удобен, чем создание таблиц непосредственно в Word’е.
   · В данный реферат включен рисунок. Он был нарисован в самом простом редакторе Paint. После этого вставлен в текст.
   · В эту работу были вставлены некоторые символы.
   Список литературы
   · Л.З.Шауцукова, «Основы информатики в вопросах и ответах», Издательский центр «Эль-Фа», Нальчик, 1994
   · Введение в информатику. Лабораторные работы. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999
   · Теоретический материал из лекций по информатике в МГАПИ.

6. РЕФЕРАТ
   по дисциплине «Культурология»
   по теме: «Система счисления»
   СОДЕРЖАНИЕ
   ВВЕДЕНИЕ
   1. Сущность различных систем счисления
   2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
   ЗАКЛЮЧЕНИЕ
   ЛИТЕРАТУРА
   ВВЕДЕНИЕ
   В повседневной жизни мы, как правило, пользуемся десятичной системой счисления. Но это лишь одна из многих систем, которая получила свое распространение, вероятно, по той причине, что у человека на руках 10 пальцев. Однако эта система не всегда удобна. Так, в вычислительной технике применяется двоичная система счисления.
   В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).
   В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).
   У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, — двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система.
   В данной работе будут рассмотрены различные системы счисления.
   1. СУЩНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
   Вначале проанализируем различия между цифрами и числами: число — это абстрагированная от конкретики запись количества (например, число 25 — это двадцать пять предметов чего угодно и не только предметов, а, скажем, лет или килограммов), а цифра — это специальный знак для обозначения количества единиц. Следует обратить внимание, что цифры — это тоже записи чисел, например 8 — это не только цифра, но и число.
   Слово «цифра» происходит от позднелатинского слова «cifra», первые цифры появились у египтян и вавилонян, причем интересно, что цифры, как специальные знаки, образовались позже, чем буквы. Так, многие народы (греки, финикияне, евреи, сирийцы) для цифр использовали буквы алфавита, в России аналогичная система применялась вплоть до XVI века. Современные так называемые «арабские цифры» имеют неясное происхождение, например, утверждают, что они принесены в Европу арабами в XIII веке возможно из Индии. Повсеместно их стали использовать с XV века.
   Число — это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики; оно появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем, абстрагировавшись, стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… и т. д. Для наших целей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В частности, задачи измерения площадей привели к понятию рационального (дробного) числа, затем появились отрицательные числа, необходимость в вычислении отношения диагонали квадрата к его стороне привела к открытию иррациональных чисел, рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел и т. д. И лишь в XIX веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.
   Известно, что числовая ось бесконечна, поскольку к каждому числу можно прибавить еще единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом понятно, что придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально.
   Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольких систем счисления.
   Счисление (система счисления) -это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу.
   В этом определении стоит выделить следующие важные моменты.
   · Количество знаков, которые обычно именуются «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (обычно мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например 23 456 или 1 000 123 456 789.
   · Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется «позиционным».
   Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом.
   Другими словами, значение цифры «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе «одиннадцать» («11») две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям «единиц» — «111», «1111», «11 111» и т. д.
   Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи, в истории человечества были и иные эксперименты.
   Способ записи чисел с помощью римских цифр не грешит единообразием: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например число «XI» означает «одиннадцать», а если — слева, то значение вычитается, например число «IX», состоящее из тех же цифр, уже означает только «девять». Кроме того, в римской системе счисления в числе вес цифры X в любой позиции равен просто десяти, например число XXXII (тридцать два). И, наконец, цифры разбросаны по оси чисел.
   В нашу современную жизнь многое пришло из Рима, в том числе римское право, латынь в медицине и фармакологии. Однако римская система счисления не прижилась, потому что она отличается указанной выше сложностью, которая препятствует технологичности: скажем, римские числа трудно складывать или умножать, не говоря уже о более сложных функциях.
   Существует не одно множество цифр, образующих систему счисления. Это множество получило особое название — основание системы счисления.
   Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.
   Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа.
   Наиболее привычной для нас является десятичная система счисления. Исторически вначале, видимо, использовалась непозиционная единичная система счета — с помощью камней или палочек. Система счета состояла из двух чисел — один и два, а все, что больше двух, обозначалось, как «много».
   Затем, благодаря наличию десяти пальцев рук у человека, возникла десятичная система счета. В этой системе используются специальные графические знаки — арабские цифры, которые можно записать в следующем порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таких знаков десять, и они специально разделены запятыми, чтобы показать, что это отдельные («дискретные») знаки, которые не зависят друг от друга.
   Идея позиционной системы счисления выдвигалась еще Архимедом в работе «Исчисление песка».
   В разное время и у разных народов использовались системы счисления с различными основаниями:

   · в Древнем Вавилоне — шестидесятиричная система (используемая и сейчас при измерении времени);

   · в Германии и Великобритании — двенадцатеричная (при измерении количества, в денежных системах), у древних адыгов — двадцатеричная и т. д.;

   · неколичественные (качество выступает в роли количества: «много», «мало» и т. д.) способы счета — например, у эскимосов.

   Рассмотрим основные системы счисления, помимо десятичной.
   В двоичной системе счисления основание равно двум. В этой системе счисления используются всего два знака, две цифры — «0» и «1».
   Такая система получила название двоичной системы счисления. Ее еще называют бинарной, от английского слова «binary», что, собственно, и переводится как «двоичный». В таблице 1 представлено соответствие десятичных и двоичных чисел.
   Таблица 1. Соответствие десятичных и двоичных чисел
   Десятичное число Двоичное
   число
   Десятичное
   число
   Двоичное
   число
   11 1011 1 1 12 1100 2 10 13 1101 3 11 14 1110 4 100 15 1111 5 101 16 10000 6 110 17 10001 7 111 18 10010 8 1000 19 10011 9 1001 20 10100 10 1010 В восьмеричной системе счисления основание – цифры 0,1,2,3,4,5,6,7.
   Таблица 2. Соответствие десятичных и восьмеричных чисел
   Десятичные числа Восьмеричные числа Десятичные числа Восьмеричные числа 0-7 0-7 25-63 31-77 8 10 64 100 9-15 11-17 128 200 16 20 256 400 17-23 21-27 512 1000 24 30 1024 2000 Основание шестнадцатеричной системы счисления – цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и буквы A,B,C,D,E,F.
   Соединим десятичные и шестна-дцатеричные числа в единую таблицу (табл. 3).
   Таблица 3. Соответствие десятичных и шестнадцатеричных чисел
   Десятичное число Шестнадцатеричное число Десятичное число Шестнадцатеричное число 0-9 0-9 29 1D 10 А 30 1Е 11
   12
   В
   С
   31
   32-41
   1F
   20-29
   13 D 42-47 2A-2F 14 Е 48-255 30-FF 15 F 256 100 16 10 512 200 17-25 11-19 1024 400 26 1А 1280 500 27 1В 4096 1000 28 1C Шестнадцатеричная система используется, чтобы более компактно записывать двоичную информацию. В самом деле, «шестнадцатеричная тысяча», состоящая из четырех разрядов, в двоичном виде занимает тринадцать разрядов (100016 = 10000000000002 ).
   2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
   Рассмотрим способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.
   а) Перевод двоичного числа в десятичное.
   Необходимо сложить двойки в степенях, соответствующих позициям, где в двоичном стоят единицы. Например:
   Возьмем число 20. В двоичной системе оно имеет следующий вид: 10100.
   Итак (считаем слева направо, считая от 4 до 0; число в нулевой степени всегда равно единице)
   10100 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20= 20
   16+0+4+0+0 = 20.
   б) Перевод десятичного числа в двоичное.
   Необходимо делить его на два, записывая остаток справа налево:
   20/2 = 10, остаток 0
   10/2=5, остаток 0
   5/2=2, остаток 1
   2/2=1, остаток 0
   1/2=0, остаток 1
   В результате получаем: 10100 = 20
   в) Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное.
   В шестнадцатеричной системе номер позиции цифры в числе соответствует степени, в которую надо возвести число 16:
   8A = 8*16 + 10 (0A) = 138
   Напоследок приведем алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы, предлагаемый Л. Радюком.
   Пусть А(цд) – целое десятичное число. Запишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развёрнутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):
   A(цд) = a(n–1) • 2^(n–1) + a(n–2) • 2^(n–2) + … + a(1) • 2^1 + a(0) • 2^0.
   На первом шаге разделим число А(цд) на основание двоичной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно:
   a(n–1) • 2^(n–2) + a(n–2) • 2^(n–3) + … + a(1), а остаток равен a(0).
   На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления будет теперь равен a(1).
   Если продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков:
   a(0), a(1),…, a(n–1).
   Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного числа, записанного в свёрнутой форме:
   A(2) = a(n–1)…a(1)a(0).
   Таким образом, достаточно записать остатки в обратной последовательности, чтобы получить искомое двоичное число.
   Тогда сам алгоритм будет следующим:
   1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньше 2.
   2. Записать полученные остатки в обратной последовательности, а слева добавить последнее частное.
   Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трёх двоичных цифр — триаду, а при преобразовании шестнадцатеричного числа — в группу из четырёх цифр — тетраду.
   ЗАКЛЮЧЕНИЕ
   Подводя итоги работы, можно сделать следующие выводы.

   Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры в числе на математическом языке называется разрядом.

   Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.

   Для того чтобы двоичные числа, отличающиеся довольно значительной длиной, было легче воспринимать и отображать, их сжимают в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

   В компьютерных технологиях все виды информации кодируются только цифрами или, точнее, числами, которые представляются в двоичной системе счисления — способе представления любых чисел с помощью двух знаков (цифр) по позиционному принципу.

   ЛИТЕРАТУРА
   1. Фринланд А.Я. Информатика. – М., 2005.
   2. Сидоров В.К. Системы счисления.// Наука и жизнь 2000. №2.
   3. Радюк Л. Алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы счисления.// Наука и жизнь. 2005. №1.

7. ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА И ПРАВА имени Д.А.КУНАЕВА
   Гуманитарно-юридический институт
   РЕФЕРАТ
   Тема: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
   Выполнила: Бектасова А. МП-13 РО
   Проверил: ст.пр.Абдувалиев Р.А,
   Алматы, 2013
   СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (нумерация) – совокупность способов обозначения натуральныхчисел.
   На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бoльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались спомощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).
   Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числаизображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
   I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.
   О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначальнослужить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бoльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бoльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается избoльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).
   Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:
   I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
   Другие же числа записываются, например, как:
   XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII =397; MDCCCXVIII = 1818.
   Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.
   В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различноеколичество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).
   Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.
   Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной являетсядесятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.
   Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут,а минуты – на 60 секунд.
   Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления…

8. Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти
   В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы
   Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
   700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10 2 + 5•10 1 + 7•10 0 + 7•10 -1 = 757,7
   Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием
   Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе
   За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения
   a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + … + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + … + a -m q -m ,
   где a i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно

9. РЕФЕРАТ ПО КУРСУ ИНФОРМАИТИКА
   ТЕМА: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
   Содержание.
   Введение 3
   Позиционная система счисления 4
   Непозиционные системы счисления. 6
   Перевод чисел из одной системы счисленияв другую. 7
   Список литературы 8
   Введение
   Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всем земном шаре, алфавитом служатдесять цифр, от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не вез­де люди пользовались десятичной системой. С точки зре­ния чисто математической она не имеетспециальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.
   Впоследнее время с десятичной системой серьезно конкурируют двоичная и отчасти троичная система, ко­торыми «предпочитают пользоваться» современные вы­числительные машины.
   Позиционная система счисленияСистема счисления – способ кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называются цифрами.
   Различают позиционные и непозиционныесистемы счисления.
   Позиционная система счисления – это система, в которой величина числа зависит от положения каждой цифры в этом числе. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счислениялюбое число можно представить в виде
   Аn= am-1am-2…ai…a0 . a -1a -2 …a –k= am-1 . Nm-1 + am-2 . Nm-2…+a –k . N-k ;
   где – i-я цифра числа;
   k – количество цифр в дробной части числа;m – количество цифр в целой части числа;
   N – основания системы счисления.
   Основание системы счисления N показывает, сколько раз «вес» i-го разряда больше (i-1) разряда. Целая часть числаотличается от дробной части только точкой (запятой).
   Примеры позиционных систем счисления .
   Примеры алфавитов нескольких систем счисления.
   Основание
   Название…

10. РЕФЕРАТ
    по дисциплине
    «Культурология»
    по теме: «Система
    счисления»
    СОДЕРЖАНИЕ
    ВВЕДЕНИЕ
    1.
    Сущность различных
    систем счисления
    2.
    Перевод чисел
    из одной системы
    счисления в
    другую
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    ЛИТЕРАТУРА
    ВВЕДЕНИЕ
    В повседневной
    жизни мы, как
    правило, пользуемся
    десятичной
    системой счисления.
    Но это лишь
    одна из многих
    систем, которая
    получила свое
    распространение,
    вероятно, по
    той причине,
    что у человека
    на руках 10 пальцев.
    Однако эта
    система не
    всегда удобна.
    Так, в вычислительной
    технике применяется
    двоичная система
    счисления.
    В разные
    исторические
    периоды развития
    человечества
    для подсчетов
    и вычислений
    использовались
    те или иные
    системы счисления.
    Например, довольно
    широко была
    распространена
    двенадцатеричная
    система. Многие
    предметы (ножи,
    вилки, тарелки,
    носовые платки
    и т. д.) и сейчас
    считают дюжинами.
    Число месяцев
    в году двенадцать.
    Двенадцатеричная
    система счисления
    сохранилась
    в английской
    системе мер
    (например, 1 фут
    = 12 дюймам) и в
    денежной системе
    (1 шиллинг = 12 пенсам).
    В древнем
    Вавилоне существовала
    весьма сложная
    шестидесятеричная
    система. Она,
    как и двенадцатеричная
    система, в какой-то
    степени сохранилась
    и до наших дней
    (например, в
    системе измерения
    времени: 1 час
    = 60 минутам, 1 минута
    = 60 секундам,
    аналогично
    в системе измерения
    углов: 1 градус
    = 60 минутам, 1 минута
    = 60 секундам).
    У некоторых
    африканских
    племен была
    распространена
    пятеричная
    система счисления,
    у ацтеков и
    народов майя,
    населявших
    в течение многих
    столетий обширные
    области американского
    континента,
    – двадцатеричная
    система. У некоторых
    племен Австралии
    и Полинезии
    встречалась
    двоичная система.
    В данной
    работе будут
    рассмотрены
    различные
    системы счисления.
    1. СУЩНОСТЬ
    РАЗЛИЧНЫХ
    СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
    Вначале
    проанализируем
    различия между
    цифрами и числами:
    число –
    это абстрагированная
    от конкретики
    запись количества
    (например, число
    25 – это двадцать
    пять предметов
    чего угодно
    и не только
    предметов, а,
    скажем, лет или
    килограммов),
    а цифра –
    это специальный
    знак для обозначения
    количества
    единиц. Следует
    обратить внимание,
    что цифры –
    это тоже записи
    чисел, например
    8 – это не
    только цифра,
    но и число.
    Слово «цифра»
    происходит
    от позднелатинского
    слова «cifra», первые
    цифры появились
    у египтян и
    вавилонян,
    причем интересно,
    что цифры, как
    специальные
    знаки, образовались
    позже, чем буквы.
    Так, многие
    народы (греки,
    финикияне,
    евреи, сирийцы)
    для цифр использовали
    буквы алфавита,
    в России аналогичная
    система применялась
    вплоть до XVI века.
    Современные
    так называемые
    «арабские
    цифры» имеют
    неясное происхождение,
    например, утверждают,
    что они принесены
    в Европу арабами
    в XIII веке возможно
    из Индии. Повсеместно
    их стали использовать
    с XV века.
    Число –
    это одно из
    фундаментальных
    и самых древних
    понятий математики;
    оно появилось
    сначала в связи
    со счетом отдельных
    предметов, а
    затем, абстрагировавшись,
    стало обозначать
    количественную
    меру. Это привело
    к идее о бесконечности
    натурального
    ряда чисел: 1,
    2, 3, 4… и т. д. Для наших
    целей такого
    определения
    достаточно,
    но математиками
    были разработаны
    и другие числа.
    В частности,
    задачи измерения
    площадей привели
    к понятию
    рационального
    (дробного) числа,
    затем появились
    отрицательные
    числа, необходимость
    в вычислении
    отношения
    диагонали
    квадрата к его
    стороне привела
    к открытию
    иррациональных
    чисел, рациональные
    и иррациональные
    числа составляют
    совокупность
    действительных
    чисел и т. д. И
    лишь в XIX веке
    была разработана
    теория действительных
    чисел. Новый
    импульс эта
    теория получила
    в связи с развитием
    компьютерных
    технологий.
    Известно,
    что числовая
    ось бесконечна,
    поскольку к
    каждому числу
    можно прибавить
    еще единицу
    и получить
    следующее
    число, с которым
    можно поступить
    так же. При этом
    понятно, что
    придумывать
    какие-либо
    специальные
    обозначения
    (цифры) для любого
    элемента (числа)
    бесконечной
    числовой оси
    нереально.
    Поэтому для
    записи произвольного
    числа бесконечной
    числовой оси
    прибегают к
    помощи одной
    или нескольких
    систем счисления.
    Счисление
    (система счисления)
    – это способ
    представления
    любых чисел
    с помощью
    определенного
    количества
    знаков (цифр)
    по позиционному
    принципу.
    В этом определении
    стоит выделить
    следующие
    важные моменты.
    Количество
    знаков, которые
    обычно именуются
    «цифрами»,
    всегда ограничено.
    И с помощью
    такого, ограниченного
    количества
    цифр (обычно
    мы используем
    десять цифр)
    удается записывать
    произвольные
    числа, например
    23 456 или 1 000 123 456 789.
    Чтобы преодолеть
    это ограничение,
    используется
    особый способ
    записи, который
    называется
    «позиционным».
    Позиционная
    система счисления
    состоит в
    использовании
    ограниченного
    числа цифр,
    зато позиция
    каждой цифры
    в числе обеспечивает
    значимость
    (вес) этой цифры.
    Позиция цифры
    на математическом
    языке называется
    разрядом.
    Другими
    словами, значение
    цифры «переменчиво»
    и зависит от
    ее позиции в
    числе. Например,
    в числе «одиннадцать»
    («11») две единицы
    имеют разное
    значение, это
    относится и
    к другим сочетаниям
    «единиц» –
    «111», «1111», «11 111» и
    т. д.
    Не всякие
    числовые системы
    используют
    именно такой
    позиционный
    способ записи,
    в истории
    человечества
    были и иные
    эксперименты.
    Способ записи
    чисел с помощью
    римских цифр
    не грешит
    единообразием:
    если цифра
    расположена
    справа, то ее
    значение прибавляется
    к предыдущей,
    например число
    «XI» означает
    «одиннадцать»,
    а если –
    слева, то значение
    вычитается,
    например число
    «IX», состоящее
    из тех же цифр,
    уже означает
    только «девять».
    Кроме того, в
    римской системе
    счисления в
    числе вес цифры
    X в любой позиции
    равен просто
    десяти, например
    число XXXII (тридцать
    два). И, наконец,
    цифры разбросаны
    по оси чисел.
    В нашу современную
    жизнь многое
    пришло из Рима,
    в том числе
    римское право,
    латынь в медицине
    и фармакологии.
    Однако римская
    система счисления
    не прижилась,
    потому что она
    отличается
    указанной выше
    сложностью,
    которая препятствует
    технологичности:
    скажем, римские
    числа трудно
    складывать
    или умножать,
    не говоря уже
    о более сложных
    функциях.
    Существует
    не одно множество
    цифр, образующих
    систему счисления.
    Это множество
    получило особое
    название –
    основание
    системы счисления.
    Основание
    позиционной
    системы счисления
    – это количество
    различных
    знаков или
    символов (цифр),
    используемых
    для отображения
    чисел в данной
    системе.
    Выбор количества
    цифр диктуется
    какими-либо
    потребностями
    реальной жизни,
    науки или удобствами
    обработки.
    Исторически
    этот выбор
    определялся
    привычками
    или традициями
    конкретного
    народа.
    Наиболее
    привычной для
    нас является
    десятичная
    система счисления.
    Исторически
    вначале, видимо,
    использовалась
    непозиционная
    единичная
    система счета
    – с помощью
    камней или
    палочек. Система
    счета состояла
    из двух чисел
    – один и
    два, а все, что
    больше двух,
    обозначалось,
    как «много».
    Затем, благодаря
    наличию десяти
    пальцев рук
    у человека,
    возникла десятичная
    система счета.
    В этой системе
    используются
    специальные
    графические
    знаки –
    арабские цифры,
    которые можно
    записать в
    следующем
    порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
    6, 7, 8, 9. Таких знаков
    десять, и они
    специально
    разделены
    запятыми, чтобы
    показать, что
    это отдельные
    («дискретные»)
    знаки, которые
    не зависят друг
    от друга.
    Идея позиционной
    системы счисления
    выдвигалась
    еще Архимедом
    в работе «Исчисление
    песка».
    В разное время
    и у разных народов
    использовались
    системы счисления
    с различными
    основаниями:
    в
    Древнем Вавилоне
    – шестидесятиричная
    система (используемая
    и сейчас при
    измерении
    времени);
    в
    Германии и
    Великобритании
    – двенадцатеричная
    (при измерении
    количества,
    в денежных
    системах), у
    древних адыгов
    – двадцатеричная
    и т. д.;
    неколичественные
    (качество
    выступает в
    роли количества:
    «много», «мало»
    и т. д.) способы
    счета –
    например, у
    эскимосов.
    Рассмотрим
    основные системы
    счисления,
    помимо десятичной.
    В двоичной
    системе счисления
    основание равно
    двум. В этой
    системе счисления
    используются
    всего два знака,
    две цифры –
    «0» и «1».
    Такая система
    получила название
    двоичной системы
    счисления. Ее
    еще называют
    бинарной, от
    английского
    слова «binary», что,
    собственно,
    и переводится
    как «двоичный».
    В таблице 1
    представлено
    соответствие
    десятичных
    и двоичных
    чисел.
    Таблица 1.
    Соответствие
    десятичных
    и двоичных
    чисел
    Десятичное
    число
    Двоичное
    число
    Десятичное
    число
    Двоичное
    число
    11
    1011
    1
    1
    12
    1100
    2
    10
    13
    1101
    3
    11
    14
    1110
    4
    100
    15
    1111
    5
    101
    16
    10000
    6
    110
    17
    10001
    7
    111
    18
    10010
    8
    1000
    19
    10011
    9
    1001
    20
    10100
    10
    1010
    В восьмеричной
    системе счисления
    основание –
    цифры 0,1,2,3,4,5,6,7.
    Таблица 2.
    Соответствие
    десятичных
    и восьмеричных
    чисел
    Десятичные
    числа
    Восьмеричные
    числа
    Десятичные
    числа
    Восьмеричные
    числа
    0-7
    0-7
    25-63
    31-77
    8
    10
    64
    100
    9-15
    11-17
    128
    200
    16
    20
    256
    400
    17-23
    21-27
    512
    1000
    24
    30
    1024
    2000
    Основание
    шестнадцатеричной
    системы счисления
    – цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и
    буквы A,B,C,D,E,F.
    Соединим
    десятичные
    и шестна-дцатеричные
    числа в единую
    таблицу (табл.
    3).
    Таблица 3.
    Соответствие
    десятичных
    и шестнадцатеричных
    чисел
    Десятичное
    число
    Шестнадцатеричное
    число
    Десятичное
    число
    Шестнадцатеричное
    число
    0-9
    0-9
    29
    1D
    10
    А
    30
    1Е
    11
    12
    В
    С
    31
    32-41
    1F
    20-29
    13
    D
    42-47
    2A-2F
    14
    Е
    48-255
    30-FF
    15
    F
    256
    100
    16
    10
    512
    200
    17-25
    11-19
    1024
    400
    26
    1А
    1280
    500
    27
    1В
    4096
    1000
    28
    1C
    Шестнадцатеричная
    система используется,
    чтобы более
    компактно
    записывать
    двоичную информацию.
    В самом деле,
    «шестнадцатеричная
    тысяча», состоящая
    из четырех
    разрядов, в
    двоичном виде
    занимает тринадцать
    разрядов (100016
    = 10000000000002).
    2. Перевод
    чисел из одной
    системы счисления
    в другую
    Рассмотрим
    способы перевода
    чисел из одной
    системы счисления
    в другую.
    а) Перевод
    двоичного числа
    в десятичное.
    Необходимо
    сложить двойки
    в степенях,
    соответствующих
    позициям, где
    в двоичном
    стоят единицы.
    Например:
    Возьмем число
    20. В двоичной
    системе оно
    имеет следующий
    вид: 10100.
    Итак (считаем
    слева направо,
    считая от 4 до
    0; число в нулевой
    степени всегда
    равно единице)
    10100 = 1*24 + 0*23 + 1*22
    + 0*21 + 0*20 = 20
    16+0+4+0+0 = 20.
    б) Перевод
    десятичного
    числа в двоичное.
    Необходимо
    делить его на
    два, записывая
    остаток справа
    налево:
    20/2 = 10, остаток
    10/2=5, остаток
    5/2=2, остаток
    1
    2/2=1, остаток
    1/2=0, остаток
    1
    В результате
    получаем: 10100 = 20
    в) Перевод
    шестнадцатеричного
    числа в десятичное.
    В шестнадцатеричной
    системе номер
    позиции цифры
    в числе соответствует
    степени, в которую
    надо возвести
    число 16:
    8A = 8*16 + 10 (0A) = 138
    Напоследок
    приведем алгоритм
    перевода в
    двоичную и из
    двоичной системы,
    предлагаемый
    Л. Радюком.
    Пусть А(цд)
    – целое десятичное
    число. Запишем
    его в виде суммы
    степеней основания
    2 с двоичными
    коэффициентами.
    В его записи
    в развёрнутой
    форме будут
    отсутствовать
    отрицательные
    степени основания
    (числа 2):
    A(цд)
    = a(n–1) • 2^(n–1) + a(n–2) • 2^(n–2)
    + … + a(1) • 2^1 + a(0) • 2^0.
    На первом
    шаге разделим
    число А(цд) на
    основание
    двоичной системы,
    то есть на 2. Частное
    от деления
    будет равно:
    a(n–1)
    • 2^(n–2) + a(n–2)
    • 2^(n–3) + … + a(1),
    а остаток равен
    a(0).
    На втором
    шаге целое
    частное опять
    разделим на
    2, остаток от
    деления будет
    теперь равен
    a(1).
    Если продолжать
    этот процесс
    деления, то
    после n-го шага
    получим последовательность
    остатков:
    a(0), a(1),…, a(n–1).
    Легко заметить,
    что их последовательность
    совпадает с
    обратной
    последовательностью
    цифр целого
    двоичного
    числа, записанного
    в свёрнутой
    форме:
    A(2) = a(n–1)…a(1)a(0).
    Таким образом,
    достаточно
    записать остатки
    в обратной
    последовательности,
    чтобы получить
    искомое двоичное
    число.
    Тогда сам
    алгоритм будет
    следующим:
    1. Последовательно
    выполнять
    деление исходного
    целого десятичного
    числа и получаемых
    целых частных
    на основание
    системы (на 2)
    до тех пор, пока
    не получится
    частное, меньшее
    делителя, то
    есть меньше
    2.
    2. Записать
    полученные
    остатки в обратной
    последовательности,
    а слева добавить
    последнее
    частное.
    Для перевода
    чисел из восьмеричной
    и шестнадцатеричной
    систем счисления
    в двоичную
    необходимо
    цифры числа
    преобразовать
    в группы двоичных
    цифр. Для перевода
    из восьмеричной
    системы в двоичную
    каждую цифру
    числа надо
    преобразовать
    в группу из
    трёх двоичных
    цифр –
    триаду, а при
    преобразовании
    шестнадцатеричного
    числа –
    в группу из
    четырёх цифр
    – тетраду.
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    Подводя итоги
    работы, можно
    сделать следующие
    выводы.
    Позиционная
    система счисления
    состоит в
    использовании
    ограниченного
    числа цифр,
    зато позиция
    каждой цифры
    в числе обеспечивает
    значимость
    (вес) этой цифры.
    Позиция цифры
    в числе на
    математическом
    языке называется
    разрядом.
    Основание
    позиционной
    системы счисления
    – это количество
    различных
    знаков или
    символов (цифр),
    используемых
    для отображения
    чисел в данной
    системе.
    Для
    того чтобы
    двоичные числа,
    отличающиеся
    довольно значительной
    длиной, было
    легче воспринимать
    и отображать,
    их сжимают в
    восьмеричную
    и шестнадцатеричную
    системы счисления.
    В
    компьютерных
    технологиях
    все виды информации
    кодируются
    только цифрами
    или, точнее,
    числами, которые
    представляются
    в двоичной
    системе счисления
    – способе
    представления
    любых чисел
    с помощью двух
    знаков (цифр)
    по позиционному
    принципу.
    ЛИТЕРАТУРА
    Фринланд
    А.Я. Информатика.
    – М., 2005.
    Сидоров В.К.
    Системы счисления.//
    Наука и жизнь
    2000. №2.
    Радюк Л. Алгоритм
    перевода в
    двоичную и из
    двоичной системы
    счисления.//
    Наука и жизнь.
    2005. №1.

11. Содержание
    Что такое система счисления?
    Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
    Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
    Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
    Перевод чисел из одной системы счисления в другую
    Сложение в различных системах счисления
    Вычитание в различных системах счисления
    Умножение в различных системах счисления
    Деление в различных системах счисления
    Что такое система счисления? Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
    В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
    В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.
    Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:
    Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
    Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
    За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.
    Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления? В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
    Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.
    Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.
    Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
    Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел
    ·          в двоичной системе:  0,  1,  10,  11,  100,  101,  110,  111,  1000,  1001;
    ·          в троичной системе:     0,  1,  2,  10,  11,  12,  20,  21,  22,  100;
    ·          в пятеричной системе:   0,  1,  2,  3,  4,  10,  11,  12,  13,  14;
    ·          в восьмеричной системе: 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  10,  11.
    Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
    Двоичная система Четверичная система Восьмеричная система Десятичная система Шестнадцатиричная система 1 1 1 1 1 10 2 2 2 2 11 3 3 3 3 100 10 4 4 4 101 11 5 5 5 110 12 6 6 6 111 13 7 7 7 1000 20 10 8 8 1001 21 11 9 9 1010 22 12 10 A 1011 23 13 11 B 1100 30 14 12 C 1101 31 15 13 D 1110 32 16 14 E 1111 33 17 15 F 10000 40 20 16 10   Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной? Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
    А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
    ·          для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
    ·          представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
    ·          возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
    ·          двоичная арифметика намного проще десятичной.
    Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
    Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
    Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
    Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
    Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
    Перевод чисел из одной системы счисления в другую Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – “p”. Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:
    N = anpn+an-1pn-1+ … +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ … (1.1)
    здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p>1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:
    N = anan-1 … a1a0 . a-1a-2 …
    Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
    Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
    Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
    Ответ: 7510 = 1 001 0112  =  1138  =  4B16.
    Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
    Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
    Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125102 с.с.
    1. Переведем целую часть: 2. Переведем дробную часть: 3. Таким образом:
    2310 = 101112;
    0.12510 = 0.0012.
    Результат:
    23.12510 = 10111.0012.
    Системы счисления называются кратными, если выполняется соотношение: S = RN, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).
    Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления S поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S.
    Таблица
    Перевести 1101111001.11012″8″ с.с.
    Перевести 11111111011.1001112″16″ с.c.
    Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления R достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512) и младших (15,124000) разрядах.
    Перевести 305.48″2″ с.с.
    Перевести 7B2.E16″2″ с.с.
    Если требуется выполнить перевод из системы счисления S в R, при условии что они не являются кратными, тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = KN и R = KN.
    Перевести 175.248″16″ с.с.
    Результат: 175.248 = 7D.516.
    Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную систему счисления.
    Для всего этого примеры
    Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
    Например:
    Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на  триады  (для восьмеричной) или  тетрады  (для шестнадцатеричной)  и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:
    Сложение в различных системах счисления Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
    Вычитание в различных системах счисления
    Умножение в различных системах счисления Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
    Деление в различных системах счисления Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

12. На Руси в старину цифры обозначались буквами. Для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ними ставился специальный знак, называемый «титло». Первые девять цифр записывались так:
    Десятки обозначались так:
    Сотни обозначались так:
    Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но у них слева ставился знак «?»: ?А = 1000, ?В = 2000, ?Е = 5000.
    Десятки тысяч назывались «тьма», их обозначали, обводя знаки единиц кружками:
    = 10 000, = 20 000, = 80 000.
    Отсюда произошло выражение «Тьма народу», т.е. очень много народу.
    Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек:
    = 100 000, = 200 000, = 800 000.
    Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых:
    = 1 000 000, = 2 000 000.
    Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами» и их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны букву К:
    Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение – над буквой и под буквой ставились квадратные скобки:
    = 100 000 000.
    Иероглифы жителей Древнего Вавилона составлялись из узких вертикальных и горизонтальных клинышков, эти два значка использовались и для записи чисел. Один вертикальный клинышек обозначал единицу, горизонтальный – десяток. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5. Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой – сколько взято единиц.
    О том, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система, существует много гипотез, но ни одна пока не доказана. Одна из гипотез, состоит в том, что произошло смешение двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной системой, а другое – десятичной. Шестидесятеричная система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза состоит в том, что вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что, естественно, связывают с числом 60.
    Шестидесятеричная система, в некоторой степени, сохранилась до наших дней, например, в делении часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд и в аналогичной системе измерение углов: 1 градус равен 60 минутам, 1 минута – 60 секундам.
    Двоичной системой счисления пользовались при счете некоторые первобытные племена, она была известна еще древнекитайским математикам, но по настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц, видевший в ней олицетворение глубокой метафизической истины.
    Двоичной системой счисления пользуются некоторые (местные) культуры в Африке, Австралии и Южной Америке.
    Для изображения чисел в двоичной системе счисления требуется лишь две цифры: 0 и 1. По этой причине двоичную запись числа легко представить, пользуясь физическими элементами, которые имеют два различных устойчивых состояния. Именно это и послужило одной из важных причин широкого использования двоичной системы в современных электронных вычислительных машинах.
    Самой экономичной из всех систем счисления является троичная. Двоичная и равносильная ей, в смысле экономичности, четверичная системы, несколько уступают в этом отношении троичной, но превосходят все основные возможные системы. Если для записи чисел от 1 до 10 в десятичной системе требуется 90 различных состояний, а в двоичной – 60, то в троичной системе достаточно 57 состояний.
    Наиболее привычная ситуация, в которой проявляется необходимость троичного анализа, – это, пожалуй, взвешивание на чашечных весах. Здесь могут возникнуть три разных случая: либо одна из чашек перевесит другую, либо наоборот, либо же чашки уравновесят друг друга.
    Четверичной системой счисления пользуются, главным образом, индейские племена Южной Америки и индейцы юкки в Калифорнии, считающих на промежутках между пальцами.
    Пятеричная система счислениябыла распространена гораздо шире, чем все остальные. Индейцы племени таманакос в Южной Америке употребляют для обозначения числа 5 то же слово, что и для обозначения «всей руки». Слово «шесть» по-таманакски означает «один палец на другой руке», семь – «два пальца на другой руке» и т.д. для восьми и девяти. Десять называется «двумя руками». Желая назвать число от 11 до 14, таманакос протягивают вперед обе руки и считают: «один на ноге, два на ноге» и т.д. до тех пор, пока не доходят до 15 – «всей ноги». Затем следует «один на другой ноге» (число 16) и т.д. до 19. Число 20 по-таманакски означает «один индеец», 21 – «один на руке другого индейца». «Два индейца» означают 40, «три индейца» – 60.
    У жителей древней Явы и у ацтеков продолжительность недели составляла 5 дней.
    Некоторые историки считают, что римское число X (десять) составлено из двух римских пятерок V (одна из них перевернута), а число V в свою очередь возникло из стилизованного изображения человеческой руки.
    Широкое распространение имела в древности двенадцатеричная система счисления. Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. А именно, так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимают за единицу следующего разряда.
    Основное преимущество двенадцатеричной системы состоит в том, что ее основание делится без остатка на 2, 3 и 4. Сторонники двенадцатеричной системы появились еще в XVI веке. В более позднее время к их числу принадлежали столь выдающиеся люди, как Герберт Спенсер, Джон Квинси Адамс и Джордж Бернард Шоу. Существует даже американское двенадцатеричное общество, выпускающее два периодических издания: «Двенадцатеричный бюллетень» и «Руководство по двенадцатеричной системе». Всей «двенадцатеричников» общество снабжает специальной счетной линейкой, в которой в качестве основания используется 12.
    В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того, чтобы сказать «двенадцать», часть говорят «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а именно дюжинами, например, столовые приборы в сервизе (сервиз на 12 персон) или стулья в мебельном гарнитуре.
    Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе счисления – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала XX столетия оно бытовало и, еще сто лет назад, его можно было легко встретить. Например, в написанном в 1928 году стихотворении «Плюшкин» В.В. Маяковский, высмеивая мещан, скупающих подряд все нужное и ненужное, писал:
    ..Оглядев
    товаров россыпь,
    в жадности
    и в алчи
    укупил

13. Республиканская конференция-фестиваль творчества обучающихся
    «EXCELSIOR- 2008»
    Секция ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
    СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
    Хадиатулина Татьяна
    МОУ «Янтиковская средняя общеобразовательная школа»
    Янтиковского района, 9 класс
    Научный руководитель:
    Неофитова Наталья
    Николаевна,
    учитель информатики и ИКТ,
    математики
    МОУ «Янтиковская СОШ»
    с. Янтиково, 2008
    Оглавление
    Введение………………………………………………………………………………3
    I. Обзор литературы…………………………………………………………………..4
    1.1. Группы систем счисления
    1.2. Классификация систем счисления
    1.3. Представление информации в ЭВМ
    II. Почему удобна двоичная система? ………………………………………………5
    III. Задача на использование двоичной системы счисление
    «Деньги в конвертах и зерна на шахматной доске»…………………………6-7
    IV. Применение двоичной системы счисления……………………………………8-9
    4.1. «Книга перемен»
    4.2. Азбука Морзе
    4.3. Алфавитное кодирование, штрих-коды и их использование
    Заключение …………………………………………………………………………..10
    Библиографический список………………………………………………………….11
    Приложение…………………………………………………………..…………..12-16
    Введение
    Данную тему мы выбрали, потому что нам стало любопытно, кто стоит у истоков двоичной системы счисления, как давно и где ее начали применять, почему двоичная система счисления сохранилась до наших дней.
    Перед собой поставили следующую цель: узнать, для чего нужна двоичная система счисления.
    Для достижения поставленной цели сформулировали следующие задачи: изучить литературу о различных системах счисления, почему в ЭВМ информация представляется в двоичной системе счисления и чем она удобна, где еще используется двоичная система счисления.
    Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Люди всегда считали и записывали числа, даже 5 тысяч лет назад. Но записывали их по другим правилам, хотя в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые назывались цифрами.
    Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр – от 0 до 9. Это десятичная система счисления.
    Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.
    Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Древнее написание десятичных цифр:
    Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12 (см. Приложение, рис. 1).
    По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидная связь этой системы счисления со строением человеческой руки.
    У ацтеков и майя – народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная система счисления. Также двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой системе счисления составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20 (1 франк = 20 су).
    Особый интерес представляет так называемая «вавилонская», или шестидесятеричная, система счисления (см. Приложение, рис. 2), весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной, другое – десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минут, 1 градус = 60минут. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.
    Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Специалисты выделили так называемую «машинную» группу систем счисления. И разработали способы преобразования чисел этой группы. 1. Обзор литературы
    Прежде всего, мы стали изучать газеты и журналы по информационным технологиям, стали искать информацию в Интернете. Откуда мы узнали, что системы счисления делятся на различные группы.
    1.1. Группы систем счисления
    Системы счисления различают:
    – Анатомического происхождения:  десятеричная, пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная.
    – Алфавитные: древнеармянская, древнегрузинская, древнегреческая, ионическая, славянская.
    – Машинные: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
    – Прочие:  Римская, Вавилонская, Египетская нумерация, Китайская нумерация (см. Приложение) и другие.
    1.2. Классификация систем счисления
    Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
    Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.
    Позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления величина, обозначается цифрой, зависит от места цифры в числе. Так в числе 222 цифра 2 встречается трижды. Но самая правая означает две единицы, вторая справа – два десятка и, наконец, третья – две сотни.
    Непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать трудно. Древние греки построили геометрию, которую сегодня изучают в школе, доказали важные теоремы теории чисел, но считать они не умели. Примером непозиционный системы счисления является римская система счисления (см. Приложение, рис. 3).
    1.3. Представление информации в ЭВМ
    Обработка информации в ЭВМ основана на обмене электрическими сигналами между различными устройствами машины. Эти сигналы возникают в определенной последовательности. Признак наличия сигнала можно обозначить цифрой 1, признак отсутствия – цифрой 0. Таким образом, в ЭВМ реализуются два устойчивых состояния. С помощью определенных наборов цифр 0 и 1 можно закодировать любую информацию. Каждый такой набор нулей и единиц называется двоичным кодом. Количество информации, кодируемое двоичной цифрой – 0 или 1 – называется битом. Бит является единицей измерения количества информации. На практике чаще, чем с битом нам приходится работать с байтом – единицей измерения объема данных. Например, русской букве М в так называемой альтернативной кодировке соответствует следующий набор нулей и единиц – 10001100, а русской букве А – 10000000, тогда слово МАМА закодируется 32-разрядным двоичным кодом:
    10001100 10000000 10001100 10000000
    Широкое распространение получила т.н. кодировка ASCII (American Standard Code for Information Interchange – американский стандартный код для обмена информацией). Это семиразрядный код (каждый символ кодирует семью двоичными разрядами) – таким образом, всего можно закодировать 128 символов. Мы обычно пользуемся восьмиразрядным расширением кода ASCII. За счет добавления «лишнего» разряда можно получить еще128 символов, всего их становится 256. Это расширение позволяет кодировать буквы русского алфавита и некоторые специальные символы.2. Почему удобна двоичная система?
    Стоит отметить, что двоичная система издавна была предметом пристального внимания ученых. Официальное рождение двоичной системы счисления связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Во время работы ЭВМ постоянно происходит преобразование чисел из десятичной системы счисления в двоичную, и наоборот. Да и человеку, имеющему дело с ЭВМ, часто приходится прибегать к преобразованиям чисел.
    Вот, что писал Лаплас об отношении великого немецкого математика Г.В. Лейбница к двоичной (бинарной) системе: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытиё и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».
    Главное достоинство двоичной системы – простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требуется ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе счисления. Таблица деления сводится к двум равенствам 0/1 = 0, 1/1 = 1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе и, по существу, сводится к многократному вычитанию.
    Таблица сложения, как ни странно, чуть сложнее, потому что 1 + 1 = 10 и возникает перенос в следующий разряд. В общем виде операцию сложения однобитовых чисел можно записать в виде x + y = 2w  + v, где w, v – биты результата. Внимательно посмотрев на таблицу сложения, можно заметить, что бит переноса w – это просто произведение xy, потому что он равен единице лишь, когда x и y равны единице. А вот бит,  равен   за исключением случая     = 1, когда он равен не 2, а 0. Операцию, с помощью которой по битам   вычисляют, бит  называют по-разному. Мы будем использовать для нее название «сложение по модулю 2» и символ. Таким образом, сложение битов выполняется фактически не одной, а двумя операциями.
    Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере, так как удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со 100 процентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр):
    – электромагнитные реле (замкнуто/разомкнуто), широко использовались в конструкциях первых ЭВМ;
    – участок поверхности магнитного носителя информации (намагничен/ размагничен);
    – участок поверхности лазерного диска (отражает/не отражает);
    – триггер, может устойчиво находиться в одном из двух состояний, широко используется в оперативной памяти компьютера.
    Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой при конструкции ЭВМ с программным управлением состоялось под влиянием работы Дж. фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой. Работа написана в 1946 году.
    3. Задача на использование двоичной системы счисления
    «Деньги в конвертах и зерна на шахматной доске»
    Поставим перед собой задачу. Допустим, что мы банкиры, занимающиеся отмыванием грязных денег, и завтра ждем важного клиента, которому мы должны выдать круглую или не очень круглую, но заранее нам известную сумму от 1 до 1 000 000 000 у.е. чтобы не пачкать руки о грязные деньги, мы заранее дали своим кассирам заготовить некоторое количество конвертов с деньгами, на которых написаны содержащиеся в них суммы, и собираемся просто отдать клиенту один или несколько конвертов, в которых и будет содержаться требуемая нам сумма. Какое количество конвертов необходимо иметь?
    Конечно, можно просто заготовить конверты со всеми суммами от 1 до 1 000 000 000, но где взять столько денег на конверты?
    1. Узнаем, какова будет в этом случае полная сумма во всех конвертах? Попробуем оценить также массу бумаги, предполагая, что использованы не более чем сотенные купюры.
    Есть более рациональные подход к нашему делу. Надо положить в первый конверт 1 у.е., а в каждый следующий класть вдвое большую сумму, чем в предыдущий. Тогда, например, в 5-м конверте будет 16 у.е., в 10-м – 512 у.е., в 11-м –1024 у.е., в 21-м –1024 = 1 048 576 у.е., в 31-м –1024 = 1 073 741 824 у.е., но он нам, очевидно, уже не понадобится, а вот 30-й с 1 073 741 824/2 = 536 870 912 у.е. может и пригодиться. В общем случае сумма в (n + 1)-м конверте будет равна произведению n двоек, это число принято обозначать 2 и называть n-й степенью двойки. Условимся считать, что 20 = 1. проведенные выше вычисления основались на следующих свойствах операции возведения в степень:
    2n2m = 2n+m, 2n /2m = 2n-m, (2n)m = 2nm.
    Экспериментально легкое проверить, что любое число можно представить единственным образом в виде суммы различных меньших степеней двойки, и поэтому наша задача решена. Например, 30 000 = 214 + 213 + 212 + 210 + 28 + 25 + 24.
    Но для реального применения нужен алгоритм построения такого разложения. Далее приведем несколько разных алгоритмов, но в начале мы рассмотрим самый простой. В сущности, это алгоритм выдачи сдачи клиенту, записанный некогда даже в инструкции для работников торговли, но очень редко ими выполняющийся. А он очень прост – сдачу надо выдавать, начиная с самых больших купюр. В нашем случае нужно найти конверт с наибольшей суммой денег, не превосходящей требуемую, т.е. наибольшую степень двойки, не превосходящую требуемого количества денег. Если требуемая сумма равна этой степени, то алгоритм заканчивает работу. В противном случае опять выбирается конверт с наибольшей суммой денег, не превосходящей оставшуюся и т.д. Алгоритм закончит работу, когда останется сумма, в точности равная степени двойки, и она будет выдана последним конвертом.
    Ниже мы докажем, что, имея набор конвертов с суммами в 1 у.е., 2у.е., 4 у.е., …, 2n у.е., любую сумму денег от 1 у.е. до 2n + 1 – 1 у.е. можно выдать единственным способом. Также будет доказано, что, действуя по описанному алгоритму, мы всегда получим этот способ выдачи требуемой суммы.
    Вначале рассмотрим пример работы алгоритма с числом 2n – 1. Ясно, что на первом шаге выбрано число 2 n – 1, останется число 2n – 1 – 2 n – 1 = 2 n – 1 – 1, потом будет выбрано число 2 n – 2 , и т.д., и в результате получится разложение
    2n – 1 = 2 n – 1  + 2 n – 2  + … + 22 + 21 + 20.
    Но оно не показалось бы очевидным, если, не зная заранее ответа, пришлось бы вычислять сумму  1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 n – 2  + 2 n – 1, называемую суммой геометрической прогрессии со знаменателем 2.
    Ведь для этого пришлось бы выдумать какой-нибудь трюк наподобие следующего:
    1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 n – 2  + 2 n – 1 = 2 – 1 +2 + 4 + 8 + … + 2 n – 2  + 2 n – 1 =
    = 4 – 1 + 4 + 8 + … + 2 n – 2  + 2 n – 1 =  8 – 1 + 8 + 16 + … + 2 n – 2  + 2 n – 1 = … =
    = 2 n – 2  – 1 + 2 n – 2  + 2 n – 1 =  2 n – 1 – 1 + 2 n – 1 = 2 n  – 1.
    2. А теперь, используя данный трюк, вычислим произведение (2 + 1)? (22 + 1) • … •(22 n + 1).
    Докажем теперь существование и единственность представления числа N в виде суммы меньших степеней двойки. Доказательство будем проводить индукцией по N.
    Для N = 1 утверждение очевидно.
    Пусть оно верно для всех N ? N0. Пусть 2n – максимальная степень двойки, не превосходящая N, т.е. 2n ? N0  < 2n + 1. Тогда по предположению индукции число  представимо в виде суммы степеней двойки, меньших  N0 - 2n ? 2n . Следовательно, число N0  тоже представимо в виде суммы меньших степеней двойки (достаточно к представлению числа  N0 - 2n  добавить 2n). Кроме того, так как 1 + 2 + … + 2 n – 1 = 2n – 1 <  2n, то не существуют представления числа N0, не использующего 2n. Таким образом, доказана единственность такого представления. Заметим, что для быстрого применения этого алгоритма удобно заранее вычислить все степени двойки, не превосходящие данного числа. Заметим еще, что в отличие от первого варианта решения, полная сумма во всех конвертах менее чем в два раза превосходит верхнюю границу подлежащей выплате суммы. Для краткой записи результата работы алгоритма над данным числом а можно вместо разложения , которое и записать-то в общем виде без использования трехэтажных обозначений затруднительно, использовать последовательность показателей степеней (n1, … , nk), или, что еще удобнее (но не всегда короче), написать последовательность (am, …, a1) чисел 0 и 1, в которой ai  = 1, если число 2i-1  входит в указанное выше разложение, и  ai = 0 в противном случае. Тогда это разложение можно будет переписать в виде a = a1 + 2a2 + 4a3 + … + 2m-1 am. Ясно, что приведенный выше алгоритм позволяет строить такое представление, причем оно определяется однозначно, если предполагать, что старший его разряд am ненулевой. Это представление и называется двоичной записью числа а. Увидите, что понятие двоичной записи очень похоже на понятие десятичной записи и в каком-то смысле даже проще. Остался вопрос о минимальности найденной системе конвертов. В общем виде указанный выше прием предлагает для уплаты любой суммы от 1 до n использовать m конвертов с суммами 1, 2, 4, 8, …, 2m-1, где 2m-1 ? n < 2m. Меньшего количества конвертов может не хватить, потому что с помощью k < m конвертов можно уплатить не более чем 2k – 1 < 2m-1  ?n  разных сумм, так как каждая сумма однозначно определяется ненулевым набором (a1,….., ak), в котором каждое число  ai равно 1, если i-й конверт входит в эту сумму, и равно 0 в противном случае, а всего наборов длины k из нулей и единиц можно составить ровно 2k. 4. Применение систем счисления 4.1. «Книга перемен» Двоичная система, по крайней мере, в своей комбинаторной ипостаси, по существу была известна в Древнем Китае. В классической книге «И цзин» («Книга перемен») приведены так называемые «гексаграммы Фу-си», первая из которых имеет вид, а последняя (64-я) – вид, причем они расположены по кругу и занумерованы в точном соответствии с двоичной системой (нулями и единицами соответствуют сплошные и прерывистые линии). Китайцы не поленились придумать для этих диаграмм специальные иероглифы и названия (например, первая из них называлась «кунь», а последняя – «цянь», сплошной линии сопоставляется мужское начало янь, а прерывистой линии – женское начало инь). Каждая гексаграмма состоит из двух триграмм (верхней и нижней), им тоже соответствуют определенные иероглифы и названия. Например, триграмме из трех сплошных линий сопоставлен образ-атрибут «небо, творчество», а триграмме из трех прерывистых линий сопоставлен образ-атрибут «земля, податливость, восприимчивость». Их также принято располагать циклически, но этот цикл не является кодом Грея. «Книга перемен» очень древняя, возможно, одна из древнейших в мире, и кто ее написал – неизвестно. Она использовалась ранее, и используется в настоящее время, в том числе и на Западе, для гадания. В Европе с аналогичной целью используются карты Таро. В чем-то обе эти системы схожи, но Таро никак не связаны с двоичной системой, поэтому о них мы говорить не будем. Способ гадания по «Книге перемен» в кратком изложении таков. Бросается шесть раз монета (или лучше пуговица, деньги в гадании применять не рекомендуется), и по полученным результатам (орел или решка) разыскивается подходящая гексаграмма (для этого надо заранее сопоставить орлу и решке янь или инь). По гексаграмме разыскиваете соответствующий раздел «Книги перемен» и читаете, что там написано. 4.2. Азбука Морзе Сэмюель Морзе известен, однако, не только изобретением азбуки. Он был и художником-портретистом (его картина «Генерал Лафайет» до сих пор висит в нью-йоркском Сити-Холле), и одним из первых фотографов в Америке (учился делать дагерротипные фотографии у самого Луи Дагерра), и политиком (он балатировался в 1836 году на пост мэра Нью-Йорка), но самое главное его достижение – изобретение телеграфа (а азбука Морзе понадобилась ему для использования телеграфа). Заодно он изобрел устройство, которое называется реле. Именно из реле спустя сто лет после Морзе были построены первые компьютеры. Начал свои работы в этом направление он в 1832 году, запатентовал свое изобретение в 1836 году, но публичная демонстрация телеграфа произошла только 24 мая 1844 года. По телеграфной линии, соединяющей Вашингтон с Балтимором, была успешно передана фраза из Библии. Точка и тире оказались самыми элементарными символами, которые мог передавать его телеграф. Они соответствовали коротким и длинным импульсам электрического тока, передаваемым по телеграфным проводам. Длина импульса определялась нажатием руки телеграфиста на ключ телеграфа. Прием сигнала осуществляло реле, которое после появления в нем импульса тока включало электромагнит, который либо заставлял стучать молоточек, либо прижимал колесико с красящей лентой к бумажной ленте, на которой отпечатывались либо точка, либо тире в зависимости от длины импульса. Азбука Морзе сопоставляет каждой букве алфавита последовательность из точек и тире. Естественней всего использовать такие последовательности длины 6, их всего 64 и хватит даже на русский алфавит. Но Морзе понимал, что длину сообщения желательно уменьшить, насколько возможно, поэтому он решил использовать последовательности длины не более 4, их всего 2 + 4 + 8 + 16 = 30. в русском алфавите пришлось не использовать буквы «э» и «ё» и отождествить мягкий и твердый знаки. Кроме того, наиболее часто используемых буквами он предложил давать самые короткие коды, чтобы уменьшить среднюю длину передаваемого сообщения. Эту идею в наше время используют с той же целью в алфавитном кодировании.4.3. Алфавитное кодирование, штрих-коды и их использование Пусть, например, кодирующим алфавитом является двухбуквенный алфавит, например, состоящий из символов 0, 1. Схемой алфавитного кодирования называется отображение каждой буквы кодируемого алфавита в некоторое слово в кодирующем алфавите (называемое элементарным кодом), в рассматриваемом случае – последовательность нулей или единиц. Пользуясь этой схемой, можно закодировать любое слово в кодируемом алфавите, заменяя в нем каждую букву на соответствующий ей элементарный код, и превратить исходное слово в более длинное слово в кодирующем алфавите. Если вместо двоичных цифр  использовать обычный алфавит, но со шрифтами двух типов, то таким методом можно в любом тексте спрятать шифровку, если, конечно, шрифты будут достаточно малоразличимы. Желательно при этом использовать разделимый код. Длина зашифрованного сообщения будет в несколько раз короче, чем длина содержащего его (и одновременно маскирующего его) текста, но если для передачи шифровки использовать книгу, то в ней можно, таким образом, незаметно разместить еще целую книгу. Но эта красивая идея из-за дороговизны ее реализации так и не нашла применения. В наше же время ее нельзя рассматривать как серьезный метод. Примером реального применения двоичного кодирования в современной технике служат штрих-коды. В супермаркетах на упаковках товаров можно увидеть штрих-код. Для чего он нужен, и как его прочитать? Нужен он только для автоматического занесения информации в кассовый аппарат. Сам штрих-код состоит из тридцати черных полос переменой толщины, разделенной промежутками тоже переменой толщины. Толщина полос может принимать четыре значения – от самой тонкой до самой толстой. Такую же толщину могут иметь и промежутки. Когда по сканеру проводят штрих-кодом, он воспринимает каждую черную полоску как последовательность единиц длины от одной до четырех и также воспринимает промежутки между полосами, но при этом вместо единиц сканер видит нули. Полностью весь штрих-код сканер воспринимает как последовательность из 95 цифр 0 или 1 (их давно уже принято называть битами). Что же содержит этот код? Он кодирует 13-разрядное десятичное число, совершенно открыто написанное под самим штрих-кодом. Если сканер не смог распознать штрих-код, то это число кассир вводит в аппарат вручную. Штрих-код нужен лишь для облегчения распознавания сканером изображения. Распознавать цифры, к тому же повернутые боком, может только сложная программа распознавания на универсальном компьютере, да и то не очень надежно, а не кассовый аппарат. Какую же информацию содержит это 13-значное число? Этот вопрос к математике никакого отношения не имеет. Первые две цифры задают страну – производителя товара. Следующие пять цифр – это код производитель, а следующие пять цифр – код самого продукта в принятой этим производителем кодировке. Последняя цифра – это код проверки. Он однозначно вычисляется по предыдущим 12 цифрам, следующим образом. Нужно сложить все цифры с нечетными номерами, утроить сумму, к ней прибавить сумму оставшихся цифр, а полученный результат вычесть из ближайшего кратного 10 числа. Заключение В ходе изучения данной темы мы выяснили, что двоичная система счисления намного старше электронных машин. Двоичной системой счисления люди интересуются давно. Особенно сильным это увлечение было с конца 16 до 19 века. Знаменитый Лейбниц считал двоичную систему счисления простой, удобной, красивой. Даже по его просьбе была выбита медаль в честь этой «диадической» системы (так называли тогда  двоичную систему счисления). Двоичная система счисления наиболее проста и удобна для автоматизации. Наличие в системе всего лишь двух символов упрощает их преобразование в электрические сигналы. Из любой системы счисления можно перейти к двоичному коду. Почти все ЭВМ используют либо непосредственно двоичную систему счисления, либо двоичное кодирование какой-либо другой системы счисления. Но двоичная система имеет и недостатки: - ею пользуются только для ЭВМ для внутренней и внешней работы; - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.Библиографический список 1. Нестеренко А.В. ЭВМ и профессия программиста. М.: Просвещение, 1990. 2. Решетников В.Н., Сотников А.Н. Информатика – что это? М.: Радио и связь, 1989. 3. Фомин С.В. Системы счисления. М.: Наука, 1987. 4. Информатика: Системы счисления: спецвыпуск,  №42 1995. 5. Информатика: Семинар,  №2, №3 2006. 6. Информатика: В мир информатики, №8 2007. 7. http://www.internet-school.ru/Enc.ashx?item=3773
    лее рациональные подход к нашему делу. ниы не более чем сотенные купюры.колько конвертов, в которых и будет содержаться требуе
    Двенадцатеричная система счисления
    Рис. 1
    “Вавилонская “, или шестидесятеричная, система счисления
    Рис. 2
    Римская система счисления
    Рис. 3Египетская нумерация
    1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
    Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше.
    10. Такими путами египтяне связывали коров
    Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
    100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
    1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.
    10 000. “В больших числах будь внимателен!” – говорит поднятый вверх указательный палец.
    100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
    1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф
    10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца
    Китайская нумерация
    1
    6
    2
    7
    3
    8
    4
    9
    5
    ?
    Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда – кружок – аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.